Mathematik HTL 3, Schulbuch

28 1.3 Grenzwerte von Funktionen und stetige Funktionen Ich lerne die Begriffe Grenzwert einer Funktion und stetige Funktion kennen. Ich lerne mein Wissen über stetige Funktionen zu nützen, um Intervalle anzugeben, in denen sich Nullstellen von stetigen Funktionen befinden. Eine Parkgarage gibt den folgenden Tarif an: Für jede ange fangene Stunde werden 2€ verrechnet. Fährt man also um 11:00Uhr in die Garage und verlässt sie um 11:59Uhr, zahlt man 2€, ab 12:00Uhr aber schon 4€ und ab 13:00Uhr 6€. Wir bezeichnen mit p die Funktion von R + nach R , die jeder nicht negativen Zahl t die Parkgebühr für t Stunden Parken zuordnet. Wenn man   1 _ 2 –   1 _  10 ,   1 _ 2 –   1 _  100 oder   1 _ 2 –   1 _  1000 Stunden parkt, zahlt man jeweils 2€. Die Folge k    1 _ 2 –   1 _  10 ,   1 _ 2 –   1 _  100  , …,   1 _ 2 –   1 _  10 n , …  l konvergiert gegen   1 _ 2 , die Folge k  p 2    1 _ 2 –   1 _  10   3 , p 2    1 _ 2 –   1 _  100  3 , …, p 2    1 _ 2 –   1 _  10 n   3 , …  l = k 2, 2, 2, …, 2, … l konvergiert gegen 2 = p 2    1 _ 2   3 . Für eine halbe Stunde parken zahlt man also gleich viel, wie wenn man nur „fast“ eine halbe Stunde parkt. Wenn man 1 –   1 _  10 oder 1 –   1 _  100 oder 1 –   1 _  1000 Stunden parkt, zahlt man jeweils 2€. Die Folge k  1 –   1 _  10 , 1 –   1 _  100 , 1 –   1 _  1000 , …, 1 –   1 _  10 n , …  l konvergiert gegen 1, die Folge k  p 2  1 –   1 _  10    3 , p 2  1 –   1 _  100    3 , p 2  1 –   1 _  1000   3 , …, p 2  1 –   1 _  10 n   3 , …  l = k 2, 2, 2, …, 2, … l konvergiert auch, aber gegen 2 und nicht gegen p(1) = 4. Wenn man „fast“ eine Stunde parkt, zahlt man um 2€ weniger als für eine Stunde. Man sagt, dass p an der Stelle   1 _ 2 stetig ist, an der Stelle 1 aber unstetig . An der Stelle 1 macht der Graph von p einen „Sprung“. Wir betrachten eine Teilmenge M von R und eine Funktion f von M nach R . Zu jeder Folge k a n l von Zahlen in M erhalten wir eine weitere Folge, wenn wir die Funktionswerte der Folgenglieder a n bezüglich f berechnen, nämlich k f(a n ) l . Wir nennen diese Folge das Bild der Folge k a n l bezüg- lich f . Ist zum Beispiel M = R und f die quadratische Funktion mit f(x) = x 2 , dann erhalten wir als Bild der Folge k 1, 2, 3, …, n, … l bezüglich f die Folge k 1 2 , 2 2 , 3 2 , …, n 2 , … l und als Bild der Folge k  1,   1 _ 2 ,   1 _ 3 , …,   1 _ n , …  l die Folge k  1 2 , 2    1 _ 2   3 2 , 2    1 _ 3   3 2 , …, 2    1 _ n   3 2 , …  l . Die Folge k  1,   1 _ 2 ,   1 _ 3 , …,   1 _ n , … l konvergiert gegen 0, ihr Bild bezüglich x 2 konvergiert auch und zwar gegen 0 = f(0). Ist das immer so? Wenn eine Folge k a n l von Zahlen in M gegen eine Zahl a in M konvergiert, konvergiert dann auch ihr Bild bezüglich f gegen f(a)? Oder muss das nicht so sein? ggb 8769zd t[h] p[€] 1 0 2 3 5 4 0 4 2 6 10 8 Bild einer Folge bezüglich einer Funktion Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv