Mathematik HTL 3, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 269 b. 2    15 ‒6 +17  ‒7 +3  ‒8 ‒10    4 ‒11 3 4  2    ‒1 2 ‒3 1 0 0   3 5    1 0 1 0    2 0    3 0 0 1 3 + 3·I   + 2·I 2  ‒1  2 ‒3 1 0 0  0 11 ‒8 3 1 0  0  4 ‒3 2 0 1 3 ·(‒1)  – 3·III 2    1 ‒2    3 ‒1 0    0 0 ‒1    1 ‒3 1 ‒3 0   4 ‒3    2 0    1 3 – 2·II + 4·II 2  1    0 1     5 ‒2   +6 0 ‒1 1   ‒3    1   ‒3 0   0 1 ‒10    4 ‒11 3 – III – III 2  1    0 0    15 ‒6 +17 0 ‒1 0     7 ‒3     8 0   0 1 ‒10    4 ‒11 3  ·(‒1) 2  1 0 0    15 ‒6 +17 0 1 0    ‒7 +3  ‒8 0 0 1 ‒10    4 ‒11 3 . Also ist 2    ‒1 2 ‒3   3 5    1        2 0    3 3 ‒1 = 2      15 ‒6 +17   ‒7    3  ‒8 ‒10     4 ‒11 3   5 4.3 Drehungen und Spiegelungen in der Ebene 1002. 2    cos 2    π _ 6   3 ‒sin 2    π _ 6  3 sin 2    π _ 6    3    cos 2    π _ 6    3 3 = 2    9 _ 3 _ 2  ‒  1 _ 2   1 _  2    9 _ 3 _ 2    3 ; (‒0,23 1 ‒1,87) 4  2      9 _ 3 _ 2  ‒  1 _ 2    1 _ 2      9 _ 3 _ 2    3 · 2  2  ‒1 ‒1 3 – 2    1    0   3   3 + 2    1    0   3 = 2      9 _ 3 _ 2  ‒  1 _ 2   1 _ 2      9 _ 3 _ 2    3 · 2  ‒2 ‒1 3 + 2    1    0   3 = 2  ‒0,23 ‒1,87 3   5 1003. (‒0,23 1 3,60) 4  2  cos 2 2·  π _ 6   3    sin 2 2·  π _  6 3 sin 2 2·  π _ 6   3 ‒cos 2 2·  π _ 6   3 3 · 2    3 ‒2   3 ≈ 2  ‒0,23 3,60   3   5 5 Algebraische Strukturen 5.1 Rechenregeln 1035.a. 0 b. die n×nEinheitsmatrix c. die konstante Funktion 1: R¥R : z ¦ 1 d. die identische Funktion: R¥R : z ¦ z e. das nTupel (0, 0, …, 0) 1036.a. D b. A c. D d. B e. B und C 1037. a. Das Nullelement von M ist 0 = 0 + 0·j, das zu a + b·j * M bezüg lich der Addition inverse Element ‒(a + b·j) ist ‒a + (‒b)·j * M. Wir wissen bereits, dass die Addition von komplexen Zahlen assoziativ und kommutativ ist, daher insbesondere auch die Addition in M. Also ist M mit der Addition eine kommutative Gruppe. b. Wir wissen, dass die Multiplikation von komplexen Zahlen assoziativ und kommutativ ist. Weiters gilt für die Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen das Distributivgesetz. Das Einselement von M ist 1 = 1 + 0·j. Somit ist M mit der Addition und der Multiplikation ein kommutativer Ring. c. Wenn M ein Körper wäre, müsste es zu jedem von 0 verschiedenen Element a + b·j * M ein Element c + d·j * M mit (a + b·j)·(c + d·j) = 1geben. Für 2 * M folgt aber aus 2·(c + d·j) = 1, dass c =   1 _ 2 und d = 0 ist. Die komplexe Zahl   1 _ 2 + 0·j ist aber nicht in M enthalten. Daher ist M kein Körper. 1038.a. Die Summe von zwei Matrizen in M liegt wieder in M. Die Addition von 2×2Matrizen ist assoziativ und kommutativ. Die Nullmatrix liegt in M (a = b = 0) und ist das neutrale Element bezüglich der Addition. Die Matrix 2    a ‒b b    a   3 ist ein Element von M und das bezüglich der Addition zu Matrix 2    a ‒b b    a   3 inverse Element. Daher ist M zusammen mit der Addition von Matrizen eine kommutative Gruppe. b. Wegen Matrix 2   a ‒b    b    a   3 · 2    c ‒d d    c   3 = 2    a·c – b·d ‒(a·d + b·c) a·d + b·c     a·c – b·d   3 ist das Produkt von zwei Matrizen in M wieder ein Element von M. Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist die 2×2Einheitsmatrix, diese ist auch ein Element von M (a = 1, b = 0). Die Multiplikation von 2×2Matrizen ist assoziativ. Wegen 2    c ‒d d    c   3 · 2    a ‒b b    a   3 = 2    a·c – b·d ‒(a·d + b·c) a·d + b·c     a·c – b·d   3 ist die Multiplikation von Matrizen in M kommutativ. Wenn (a, b) ≠ (0, 0) ist, dann ist a 2 + b 2 > 0 und   1 _  a 2 + b 2 · 2    a b ‒b a   3 ist die zu Matrix 2    a ‒b b    a   3 inverse Matrix. Daher ist M\{0} mit der Multiplikation eine kommutative Gruppe. c. Das Distributivgesetz gilt für alle 2×2Matrizen, daher insbeson dere auch für alle Matrizen in M. Mit den Aussagen aus den Aufgaben a. und b. folgt daher, dass M mit der Addition und Multiplikation von Matrizen ein Körper ist. 5.2 Restklassenringe 1077. a. 3 [(23 3 – 43 553 ·15 – 456·789) mod 5 = ((23 mod 5) 3 – – (43 553 mod 5)(15 mod 5) – (456 mod 5)(789 mod 5)) mod 5 = = (3 3 – 0 – 1·4) mod 5 = 23 mod 5 = 3] b. 2 [(5 679 + 2 32 + 446·99) mod 8 = ((56 mod 8) 79 + + (2 32 mod 8) + (446 mod 8)·(99 mod 8)) mod 8 = = (0 + 0 + 6·3) mod 8 = 2] 1078. Die Zahlen 1, 3, 5 und 7 sind in Z 8 invertierbar. Die dazu inversen Elemente sind 1, 3, 5 und 7, jedes invertierbare Element ist also zu sich selbst invers. 1079. u = 65, v = ‒83, 65·92 – 83·72 = 4 = ggT(92,72) 1080. Das in Z 41 zu 30 inverse Element ist 26. Mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus berechnet man 26·30 + (‒19)·41 = 1. Multiplikation in Z 8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 6 0 2 4 6 3 0 3 6 1 4 7 2 5 4 0 4 0 4 0 4 0 4 5 0 5 2 7 4 1 6 3 6 0 6 4 2 0 6 4 2 7 0 7 6 5 4 3 2 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv