Mathematik HTL 3, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 267 b. 18 [Die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Funktionsgraphen erhalten wir als Lösung der Gleichung 0,5x 2 ‒2,5x + 1 = ‒0,5x + 3,5, sie sind ‒1 und 5. Die gesuchte Fläche ist das Integral :  ‒1   5 (0,5x 2 – 2x – 2,5)dx=   0,5x 3 _ 3  – x 2 – 2,5x  1 ‒1   5 = ‒  50 _ 3  –   4 _ 3 = ‒  54 _ 3  = ‒18.] c. 17,76 [Die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Funktions graphen erhalten wir als Lösung der Gleichung 0,3x 3 + 1,6x 2 – 0,1x + 0,4 = ‒0,06x 3 – 0,2x 2 + 0,26x + 2,2. Diese ist äquivalent zu 0,36x 3 + 1,8x 2 – 0,36x – 1,8 = 0 und hat die Lösungen ‒5, ‒1 und 1. Wir berechnen die Teilflächen :  ‒5   ‒1 (0,36x 3 + 1,8x 2 – 0,36x – 1,8)dx= = 0,09x 4 + 0,6x 3 – 0,18x 2 – 1,8x  1 ‒5   ‒1 = 1,11 – (‒14,25) = 15,36 und :  ‒1   1 (0,36x 3 + 1,8x 2 – 0,36x – 1,8)dx= 0,09x 4 + 0,6x 3 – 0,18x 2 – 1,8x  1 ‒1   1 = = ‒1,29 – 1,11 = ‒2,4. 15,36 + 2,4 = 17,76.] 818. 10,5 4    1 _  3 – 0 · :  0   3 (2t 2 + t + 3)dt=   1 _ 3 2    2 _ 3 t 3  +   1 _ 2 t 2  + 3t  3   1 0   3 = 10,5  5 819. a. v mit v(t) =   1 _ 8 t 2 +   11 _  8 t [Es sind Geschwindigkeiten zu drei Zeit punkten bekannt: 0m/s nach 0s, 10m/s nach 5s und 19m/s nach 8s. Wir nähern die Funktion durch eine quadratischeFunktion v mit v(t) = at 2 + bt + c. Für die Koeffizienten a, b, c gilt dann I) c = 0; II) 25a + 5b + c = 10; III) 64a + 8b + c = 19. Wir lösen dieses System von 3 linearen Gleichungen und erhalten v(t) =   1 _ 8 t 2 +   11 _  8 t (t in Sekunden und v(t) in m/s).] b. c. 12,3km/h [Die durchschnittliche Geschwindigkeit während der ersten 4 Sekunden wird durch das Integral   1 _ 4 · :  0   4 v(t)dt= 3,42 ermittelt, die durchschnittliche Geschwindigkeit ist daher 3,42m/s oder 12,3km/h.] 820. a. b. 57,24°C 4    1 _ 4 :  0   4 (70 – 52e ‒t )dt=   1 _ 4 2  70t + 52e ‒t   1 0   4   3 =   1 _ 4 (280 + 52e ‒4 – 52) = 57,24  5 3.4 Numerische Integration 845. Rechteckregel:   π _ 4  ·cos 2    3 π _ 8    3 = 0,3; absoluter Fehler: 0,01 4  :    π _ 4      π _ 2 cos(x)dx =  sin(x)  1   π _ 4     π _ 2 = 1 –   9 _ 2 _ 2  = 0,29  5 Trapezregel:   π _ 4 ·  cos 2    π _ 4   3 + cos 2    π _ 2   3 __ 2  = 0,28; absoluter Fehler: 0,01 Keplersche Fassregel:   π _  24 · 2  cos 2    π _ 4   3 + 4·cos 2    3 π _ 8    3 + cos 2    π _ 2   3   3 = 0,29; absoluter Fehler: 0 846. zusammengesetzte Rechteckregel: 0,5·(‒1,75) 2 ·e ‒1,75 + 0,5·(‒1,25) 2 ·e ‒1,25 = 1,06; relativer Fehler   1,06 – 1,05 __ 1,05  = 0,95% 4  :  ‒2   ‒1 x 2 e x dx = 1,05  5 zusammengesetzte Trapezregel: 0,5·  (‒2) 2 ·e ‒2 + (‒1,5) 2 ·e ‒1,5 ____ 2  + 0,5·  (‒1,5) 2 ·e ‒1,5 + (‒1) 2 ·e ‒1 ___ 2  = 1,05; relativer Fehler:   1,05 – 1,05 __ 1,05  = 0% 847. 1,2499 [2n = 6. Die Teilintervalle haben die Länge   3 _ 6 = 0,5. Somit ist a 0 = 0; a 1 = 0,5; a 2 = 1; …; a 5 = 2,5; a 6 = 3 und :  0   3 e ‒  x 2 _  2 dx ≈   4 – 0 _ 6·6  ·[f(0) + 4f(0,5) + 2f(1) + 4f(1,5) + 2f(2) + 4f(2,5) + f(3)] =   1 _ 9 [1 + 4·0,8825 + 2·0,6065 + 4·0,3247 + 2·0,1353 + 4·0,0439 + 0,0111] =   1 _ 9 ·7,4992 = 1,2499.] 3.5 Anwendungen der Integralrechnung 910. 21,33 π [Wir berechnen zunächst die ersten Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen, lösen dazu die Gleichung 4x – x 2 =   1 _ 2 x + 1 und erhalten x = 3,19 und x = 0,31. Das Volumen berechnen wir mit dem Integral π ·  :  0,31   3,19   2  (4x – x 2 ) 2 – 2    1 _ 2 x + 1  3 2   3 dx= 21,33 π .] 911. 29,60 π 4  2 π · :  0   2 t·g(t)dt= 29,6 π  5 912. a. f mit f(x) =   3 _  800 x 2 –   3 _  10 x [Der Verlauf des Tragseils ähnelt einer flachen Parabel. Wir wählen eine quadratische Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c und wählen den Ursprung (0 1 0) in einem der t[s] v 1 0 2 3 5 6 7 8 4 0 10 5 15 20 m s v ( ) t[h] T[°C] 1 0 2 3 5 4 0 24 12 36 60 72 48 x y 0 2 4 2 4 (0,31 1 1,16) (3,19 1 2,59) t y 0 1 2 4 8 12 16 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv