Mathematik HTL 3, Schulbuch

Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ 264 2 Differentialrechnung 2.1 Differentialrechnung für Polynomfunktionen 198. lineare Näherung: h mit h(x) = ‒x + 2; h(‒1,01) = 3,01; h(‒0,99) = 2,99 Es ist f(x) = f((x + 1) – 1) = 2(x + 1) 2 – 4(x + 1) + 2 + 3(x + 1) – 3 + 4 = = 2(x + 1) 2 – (x + 1) + 3. Daher ist h mit h(x) = ‒(x + 1) + 3 = ‒x + 2 die lineare Näherung von f an der Stelle 1. Deren Funktionswert an der Stelle ‒1,01 ist 3,01 und an der Stelle ‒0,99 ist 2,99.] 199. a. h mit h(x) = 0,6(x – 2) + 1,8 [Wir berechnen f((x – 2) + 2) = 0,4·[(x – 2) + 2] 3 – 2·[(x – 2) + 2] 2 + + 3,8·[(x – 2) + 2] – 1 = 0,4·(x – 2) 3 + 2,4·(x – 2) 2 + 4,8·(x – 2) + + 3,2 – 2·(x – 2) 2 – 8·(x – 2) – 8 + 3,8·(x – 2) + 7,6 – 1 = = 0,4·(x – 2) 3 + 0,4·(x – 2) 2 + 0,6·(x – 2) + 1,8. Die lineare Näherung ist daher h mit h(x) = 0,6·(x – 2) + 1,8.] b. h mit h(x) = 0,6(x – 2) + 1,8 [Für alle reellen Zahlen x ist f’(x) = 1,2x 2 – 4x + 3,8; f’(2) = 0,6; f(2) = 1,8. Die lineare Approxi mation an der Stelle 2 ist h mit h(x) = 0,6(x – 2) + 1,8.] 200. [Da die Steigung an der Stelle ‒2 gleich 4,5 ist, enthält der Graph der ersten Ableitung der Funktion den Punkt (‒2 1 4,5). Ebenso enthält dieser Graph die Punkte (0,1 1 0), (2 1 ‒1,9), (4 1 ‒1,5), (5,3 1 0), (6 1 1,3) und (7 1 3,6).] 201. y = 0,8x – 2,8 [Für alle reellen Zahlen x ist f’(x) = 1,5x 2 – 1,6x – 2; f’(2) = 0,8; f(2) = ‒1,2. Die Gleichung der Tangente ist y = 0,8(x – 2) – 1,2. Ausmultiplizieren ergibt y = 0,8x – 2,8.] 202. y = 5x – 7 [Für alle reellen Zahlen z ist f’(z) = 4z – 3; f’(2) = 5; f(2) = 3 Die Gleichung der Tangente ist y = 3 + 5(x – 2) oder 5x – y = 7. Umformen ergibt y = 5x – 7.] 203. a. f’ mit f’(x) = 15x 2 + 2x – 2 b. f’ mit f’(x) = 15x 2 – 34x + 14 [Mit der Produktregel erhalten wir f’(x) = (2x – 2)·(5x – 7) + (x 2 – 2x)·5. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt f’(x) = 15x 2 – 34x + 14.] c. V’ mit V’(a) =   2 _ 3 ·a·h 204. Für reelle Zahlen a und x und Polynomfunktionen f 1 und f 2 schreiben wir f 1 (x) = f 1 (a) + c 1 ·(x – a) + (x – a) 2 ·u 1 (x) und f 2 (x) = f 2 (a) + c 2 ·(x – a) + (x – a) 2 ·u 2 (x), dabei sind c 1 = f 1 ’(a) und c 2 = f 2 ’(a) Zahlen und u 1 und u 2 Polynomfunktionen. Dann ist (f 1 – f 2 )(x) = f 1 (a) + c 1 ·(x – a) + (x – a) 2 ·u 1 (x) – (f 2 (a) + c 2 ·(x – a) + + (x – a) 2 ·u 2 (x)) = (f 1 (a) – f 2 (a)) + (c 1 – c 2 )·(x – a) + (x – a) 2 ·(u 1 (x) – – u 2 (x)) = (f 1 – f 2 )(a) + (c 1 – c 2 )·(x – a) + (x – a) 2 ·(u 1 – u 2 )(x). Daher gilt für jede Zahl a: (f 1 – f 2 )’(a) = c 1 – c 2 = f 1 ’(a) – f 2 ’(a). 2.2 Ableitung und Ableitungsregeln 314. a. an allen Stellen differenzierbar außer an der Stelle ‒1 (Knick) b. an allen Stellen differenzierbar außer an der Stelle ‒1 (Sprung) c. an allen Stellen differenzierbar außer an den Stellen ‒4, ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, 3 und 4 (Sprünge) 315. Wenn t >   1 _ 2 ist, dann stimmt die Funktion f mit der Funktion x ¦ x –   1 _ 2 überein, wenn t <   1 _ 2 ist dann stimmt die Funktion mit x ¦ ‒x +   1 _ 2 überein und ist somit für alle t außer t =   1 _ 2 differenzierbar. Betrachten wir nun die Folgen k    1 _ 2 –   1 _ n   l und k    1 _ 2 +   1 _ n   l und beginnen mit n = 1, so gilt lim   n ¥• 2    f 2    1 _ 2 –   1 _ n   3 – f 2    1 _ 2   3 __ 2    1 _ 2 –   1 _ n   3 ‒   1 _ 2   3 = lim    n ¥• 2    |  2    1 _ 2 –   1 _ n   3 –   1 _ 2   | – |    1 _ 2 –   1 _ 2   | ___ 2    1 _ 2 ‒   1 _ n   3 –   1 _ 2   3 = lim 2      1 _ n _  ‒  1 _ n   3 = ‒1 und lim   n ¥• 2    |  2    1 _ 2 +   1 _ n   3 –   1 _ 2   | – |    1 _ 2 –   1 _ 2   | ___  2    1 _  2 +   1 _  n   3 –   1 _ 2 3 = lim 2      1 _ n _    1 _  n   3 = 1. Damit ist die Funktion an der Stelle   1 _ 2 nicht differenzierbar. 316. a. 50km/h [Die mittlere Geschwindigkeit entspricht dem Differenzenquotienten   s(2) – s(0) __ 2 – 0  =   100 – 0 _ 2 – 0  = 50.] b. zum Beispiel [5; 6] [Wir suchen ein Intervall [a; a + 1] von einer Stunde mit s(a + 1) – s(a) = 75km. Genau lassen sich die Funktionswerte nicht ablesen, aber s(6) ist ungefähr 300 und s(5) ist ungefähr 225km.] c. 0km/h; Der LKW wurde abgestellt. [Es ist   s(4) – s(3) __ 4 – 3  =   200 – 200 __ 4 – 3  =   0 _ 1 = 0.] 317. a. f’(x) = e x c. f’(x) = 1 + tan 2 (x) =   1 _  cos 2 (x) e. f’(x) =   1 _  x b. f’(x) = ‒sin(x) d. f’(x) = a x ln(a) 318. a. s’ mit s’(t) = 4 π · cos(4 π ·t + φ ) [Kettenregel: s’(t) = cos(4 π ·t + φ )·4 π ] b. y’ mit y’(z) =   10z – 4 ___   ln(a)·(5z 2 – 4z + 1) 4  Es gilt log a (x) =   ln(x) _ ln(a) , daher ist  y(z) =   ln(5z 2 – 4z + 1) __ ln(a)  =   1 _  ln(a) ·ln(5z 2 – 4z + 1). Kettenregel: y’(z) =   1 _  ln(a) ·  1 __  5z 2 – 4z + 1 ·(10z – 4) =   10z – 4 ___   ln(a)·(5z 2 – 4z + 1)   5 319. a. f’(2) = 0 [Quotientenregel: f’(x) =   10x(x 3 – 3x + 7) – (5x 2 )(3x 2 – 3) ____  (x 3 – 3x + 7) 2 =   ‒5x 4 – 15x 2 + 70x ___ (x 3 – 3x + 7) 2 ; f’(2) = 0] b. f’(1) = ‒0,2 [Es ist 5 9 _______ 2x 3 – 4x 2 + x= (2x 3 – 4x 2 + x)   1 _ 5 . Kettenregel: f’(x) =   1 _ 5 (2x 3 – 4x 2 + x) ‒  4 _ 5 ·(6x 2 – 8x + 1) =   6x 2 – 8x + 1 ___   5· 5 9 _ ___ __ (2x 3 – 4x 2 + x) 4 ; f’(1) = ‒0,2] c. f’(4) = 199,811 [Es ist 9 ____ 7x + 3= (7x + 3)   1 _ 2 . Produktund Kettenregel: f’(x) = (8x – 3)·(7x + 3)   1 _ 2 + (4x 2 – 3 x + 9)·  1 _ 2 (7x + 3) ‒  1 _ 2 ·(7) = = (8x – 3)· 9 ____ 7x + 3+   28x 2 – 21x + 63 __ 2· 9 _ __ 7x + 3 ; f’(4) = 199,811] x y 0 -2 -4 2 4 4 8 6 2 -2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv