Mathematik HTL 3, Schulbuch

263 1 Konvergente Folgen und stetige Funktionen 1.1 Grenzwerte von Folgen 51. B A ist divergent, da eine geometrische Folge a 0 ·q n nur für † q † < 1 konvergiert. B ist konvergent, da die Folge die Summe der konstanten Folge k 2 l und der konvergenten geometrischen Folge k  2    1 _ 3   3 n   l ist. C Die Folge ist die Summer der divergenten Folge k n l und der konvergenten Folge k    1 _ n   l und somit divergent. 52. a. ab m = 7 [Die Folge ist streng monoton fallend. Wir suchen m so, dass   1 _  3 m – 0 < 0,001 ist, also 1000 < 3 m ist. Das ist genau dann der Fall, wenn m >   ln(1000) __ ln(3)  = 6,288 ist. Also ist für alle Folgenglieder f n mit n < 7 der Abstand zum Grenzwert 0 kleiner als 0,001.] b. ab m = 9001 [Die Folge ist streng monoton wachsend. Wir suchen m so, dass |    3m – 18 __ m  – 3  | <   1 _  500 ist, also |    ‒18 _ m  | <   1 _  500 ist. Das ist genau dann der Fall, wenn   18 _  m <   1 _  500 ist. Daraus erhalten wir 9000 < m, daher muss m º 9001 sein.] c. ab m = 193 [Wir suchen m so, dass für alle n º m |    5n 2 – 4n + 7 __  2n 2 – 9 – 2,5  | < 0,01 ist und erhalten durch Umschreiben |    ‒4n + 29,5 __ 2n 2 – 9   | < 0,01. Ab n = 8 ist die Zahl zwischen den Betragstrichen negativ. Daher ist der Betrag dieser Zahl ‒ 2    ‒4n + 29,5 __ 2n 2 – 9   3 =   4n – 29,5 __ 2n 2 – 9 und es muss gelten   4n – 29,5 __ 2n 2 – 9 < 0,01. Durch Umformen erhalten wir 0 < 0,02n 2 – 4n + 29,41. Die Lösungen der zugehörigen quadrati schen Gleichung sind 7,644 und 192,355. Der Koeffizient bei n 2 ist 0,02 > 0, daher ist die Ungleichung erfüllt, wenn n < 7,644 oder n > 192,355. Also ist m = 193.] 53. zum Beispiel: konvergente alternierende Folge: k  1, ‒  1 _ 2 ,   1 _ 3 , ‒  1 _ 4 , …,   2 ‒1  3 n _  n + 1 , …  l konvergiert gegen den Grenzwert 0; divergente alternierende Folge: k 0, ‒1, 2, ‒3, …, (‒1) n ·n, … l 54. a. zum Beispiel k  5 +   1 _  n + 1   l b. zum Beispiel k  5 –   5 _  2 n   l c. zum Beispiel k  5 +   (‒1) n _ 2 n   l 55. Es ist 2n 2 – 4n + 1 =   n _ 5 ·(10n + 6) –   26 _ 5  n + 1 = =   n _ 5 ·(10n + 6) –   26 _ 50 ·(10n + 6) +   103 _ 25  , also ist   2n 2 – 4n + 1 __ 10n + 6  =   n _ 5 –   26 _ 50 +     103 _  25  __  10n + 6  . Als Summe der divergenten Folge k    n _ 5   l und der konvergenten Folge k  ‒  26 _ 50 +     103 _ 25  _  10n + 6   l ist die Folge k    2n 2 – 4n + 1 __ 10n + 6    l divergent. 56. a. Es ist lim   n ¥• 2    n 2 – n + 4 __ n 3 + n 2   3 = lim    n ¥• 2      n 2 _ n 3 –   n _  n 3 +   4 _  n 3 __   n 3 _ n 3 +   n 2 _ n 3   3 = lim  n ¥• 2      1 _ n –   1 _  n 2 +   4 _  n 3 __  1 +   1 _ n   3 =   0 – 0 + 0 __ 1 + 0  = 0. Also ist die Folge konvergent mit dem Grenzwert 0. b. Es ist lim    n ¥• 2    4n 2 – n __  6n 2 – n + 5   3 = lim    n ¥• 2      4n 2 _ n 2 –   n _  n 2 __    6n 2 _ n 2 –   n _  n 2 +   5 _  n 2   3 = lim    n ¥• 2    4 –   1 _ n __  6 –   1 _ n +   5 _  n 2   3 =   4 – 0 __  6 – 0 + 0 =   2 _ 3 . Also ist die Folge konvergent mit dem Grenzwert   2 _ 3 . c. Es ist k    n 2 – 1 _ n – 1    l = k n + 1 l . Also ist die Folge divergent. d. Es ist lim    n ¥• 2    18n 3 + 7n __  5n 4 + n   3 = lim    n ¥• 2      18n 3 _ n 4 +   7n _ n 4 __   5n 4 _ n 4 +   n _  n 4   3 = lim    n ¥• 2      18 _ n  +   7 _  n 3 _ 5 +   1 _  n 3   3 =   0 + 0 _ 5 + 0 =   0 _ 5 = 0. Also ist die Folge konvergent mit dem Grenzwert 0. 57. Wir schreiben lim   n ¥• a n = c und erhalten c =   1 _ 4 · 2  3c +   p _  c 3   3 . Umformen ergibt c 4 = p, also ist c = 4 9 _ p. Die ersten 10 Glieder der Folge sind (gerundet) a 0 = 1; a 1 = 21; a 2 = 15,75; a 3 = 11,82; a 4 = 8,88; a 5 = 6,69; a 6 = 5,08; a 7 = 3,97; a 8 = 3,30; a 9 = 3,04. 1.2 Geometrische Reihen 88. A , C , D [Die geometrische Reihe k  ;  i = 0   n a·q i   l ist konvergent, wenn für den Quotient q gilt: † q † < 1. Bei der Reihe A ist q =   1 _ 2 < 1, in B ist q = 3 > 1, in C ist q = 0,8 < 1, in D ist q = ‒  9 _ 3 _ 2  , wobei |  ‒  9 _ 3 _ 2    | ≈ 0,866 < 1, in E ist q =   2 π _ 3  ≈ 2,094 > 1.] 89. q =   9 _  10 [Der Grenzwert der geometrischen Reihe ist 10·  1 _  1 – q . Aus 10·  1 _  1 – q = 100 erhalten wir q =   9 _  10 .] 90. k  50· 2    1 _ 6   3 n   l [Der Grenzwert der geometrischen Reihe ist a·  1 _  1 –   1 _  6 = 60. Durch Umformen erhalten wir a = 50, also ist die gesuchte Folge k  50· 2    1 _ 6   3 n   l ] 91. a. 35,38cm 4  ;  i = 0   9 12· 2    2 _ 3   3 i = 12·  2    2 _ 3   3 10 – 1 _   2 _ 3 – 1 = 35,375…  5 b. 2455,57cm 3 [Das Volumen des i-ten Würfels ist 2  12· 2    2 _  3   3 i   3 3 = 12 3 · 2    2 _  3   3 3i = 1728· 2    8 _  27    3 i . ;  i = 0   9 1728· 2    8 _  27   3 i = 1728·  2    8 _  27   3 10 – 1 __   8 _  27  – 1 = 2455,566…] c. 1555,20cm 2 [Die Oberfläche des i-ten Würfels ist 6· 2  12· 2    2 _ 3   3 i   3 2 = 6·144· 2    2 _ 3   3 2i = 864· 2    4 _ 9   3 i . ;  i = 0   19 864 2    4 _ 9   3 i = 864·  2    4 _  9   3 20 – 1 _   4 _  9 – 1 = 1555,20] d. 36cm 4  ;  i = 0   • 12· 2    2 _ 3   3 i = 12·  1 _  1 –   2 _  3 = 36  5 e. 2455,58cm 3 4  ;  i = 0   • 1728· 2    8 _  27   3 i = 1728·  1 _  1 –   8 _  27 = 2455,578…  5 f. 1555,2cm 2 4  ;  i = 0   • 864· 2    4 _ 9   3 i = 864·  1 _  1 –   4 _ 9 = 1555,2  5 1.3 Grenzwerte von Funktionen und stetige Funktionen 113. A , C , D , E , H ; Unstetigkeitsstellen: B : 2 und 3, F : 0, G : 2 [Beachte bei F : Der Funktionswert an der Stelle 0 ist 0.] 114. A , C , D [Die Funktion ist stetig, daher befindet sich sicher eine Nullstelle im Intervall, wenn die Vorzeichen der Bilder der Intervallgrenzen unterschiedlich sind. Das ist für A , C und D der Fall. Die Funktion ist eine Polynomfunktion mit Grad 3, daher hat sie maximal drei Nullstellen. Somit können in den Intervallen B und E keine Nullstellen mehr liegen.] Lösungen zu „Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt?“ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv