Mathematik HTL 3, Schulbuch

26 Konvergente Folgen und stetige Funktionen Zifferndarstellung reeller Zahlen Man kann zeigen: Wenn k z n l eine Folge von natürlichen Zahlen ist, die mit Ausnahme von z 0 kleiner als 10 sind, dann ist die Reihe k  z 0 , z 0 + z 1 ·   1 _  10 , z 0 + z 1 ·   1 _  10 + z 2 · 2    1 _  10   3 2 , …, ;  i = 0   n z i · 2    1 _  10   3 i , …  l konvergent. Die Zifferndarstellung der Glieder dieser Reihe ist k z 0 , z 0 ,z 1 , z 0 ,z 1 z 2 , …, z 0 ,z 1 z 2 … z n – 1 z n , … l . Dabei wird die natürliche Zahl z 0 auch durch Dezimalziffern dargestellt. Mit z bezeichnen wir den Grenzwert dieser Reihe. Man sagt dann, dass die Zahl z n die nte Dezimalziffer nach dem Komma der reellen Zahl z ist und dass die Folge k z n l die Dezimalzifferndarstellung der Zahl z ist. Man kann zeigen, dass jede reelle Zahl Grenzwert einer solchen Reihe ist. Insbesondere ist jede reelle Zahl der Grenzwert einer Folge von rationalen Zahlen und sogar von Dezimalzahlen. Daher kann jede reelle Zahl mit beliebig kleinem Fehler durch Dezimalzahlen angenähert werden. Auch wenn der Fehler beliebig klein sein kann, wird er aber bei allen nicht rationalen Zahlen nie 0! 83 Berechne die reelle Zahl, deren Dezimalzifferndarstellung die Folge k 25, 3, 3, …, 3, … l ist. Wir schreiben für diese Zahl 25, ˙ 3(sprich: „25,3 periodisch“). Wir schreiben die Reihe k  25, 25 + 3 2    1 _  10   3 , 25 + 3 2    1 _  10   3 + 3 2    1 _  10   3 2 , 25 + 3 2    1 _  10   3 + 3 2    1 _  10  3 2 + 3 2    1 _  10   3 3 , …  l als k 22 l + 3 k  1, 1 + 2    1 _  10   3 , 1 + 2    1 _  10   3 +  2    1 _  10   3 2 , 1 + 2    1 _  10   3 +  2    1 _  10   3 2 + 2    1 _  10   3 3 , …  l = k 22 l + 3 k  ;  i = 0   n 2    1 _  10   3 i   l und erhalten als Grenzwert 22 + 3·  1 _  1 –   1 _  10 = 22 + 3·  10 _ 9  =   76 _ 3  . Wir schreiben z 0 , __ z 1 z 1 …z k – 1 z k für den Grenzwert der Reihe k  z 0 + ;  i = 1   n z 1 z 2 …z k – 1 z k · 2    1 _  10 k 3 i   l . Dieser Grenzwert ist z 0 + (z 1 z 2 … z k – 1 z k )· 2  ;  i = 1   • 2    1 _  10 k   3 i   3 = z 0 + (z 1 z 2 … z k – 1 z k )· 2    1 _  1 – 2    1 _  10 k   3 – 1  3 = z 0 +   z 1 z 2 …z k – 1 z k __ 10 k – 1 . Die Zahl z 0 , __ z 1 z 2 …z k – 1 z k ist also eine rationale Zahl, ihre Dezimalzifferndarstellung ist die „periodische“ Folge k z 0 , z 1 , z 2 , …, z k – 1 , z k , z 1 , …, z k – 1 , z k , z 1 , z 2 , …, z k – 1 , z k , z 1 , … l . Achtung Beachte, dass manche reelle Zahlen zwei verschiedene Dezimalzifferndarstellungen haben, zum Beispiel die Zahlen 10 und 100: 9, ˙ 9= ;  i = 0   • 9· 2    1 _  10   3 i = 9·  1 _  1 –   1 _  10 = 10 und 99, _ 99= ;  i = 0   • 99· 2    1 _  100   3 i = 99·  1 _  1 –   1 _  100 = 100. Dezimalziffern darstellung von reellen Zahlen B eine Zahl, deren Ziffern- darstellung gegeben ist, berechnen Zahlen mit periodischer Dezimalziffern- darstellung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv