Mathematik HTL 3, Schulbuch

25 1.2 Geometrische Reihen 78 Eine Möglichkeit eine Schneckenlinie zu konstruieren, besteht darin, sie aus Halbkreisen zusammenzusetzen, wobei jeder weitere Halbkreis den halben Durchmesser des vorangegangenen besitzt. a. Konstruiere eine solche Schneckenlinie aus mindestens 6 Halbkreisen, wobei der äußerste Halbkreis einen Durchmesser von 12 cm haben soll. b. Berechne die Länge dieser Schnecke für n solcher Halbkreise und dann den Grenzwert der Folge dieser Längen. c. In welcher Entfernung vom Ausgangspunkt A befindet sich das Zentrum Z dieser Schnecke? 79 Herr Glück hat unverschämtes Glück im Casino. Er gewinnt, sooft er es besucht, 80% seines Einsatzes. Um aber trotzdem nichts zu riskieren, spielt Herr Glück immer nur mit dem Gewinn seines letzten CasinoBesuches weiter. a. Berechne, wie viel Herr Glück insgesamt gewinnt, wenn er das Casino 15mal besucht und sein Startkapital 500€ beträgt. b. Gib an, wie viel Herr Glück maximal gewinnen kann, egal wie oft er das Casino besucht. 80 Lässt man Bälle auf eine harte Unterlage fallen, so springen diese je nach Ballart und Untergrund zurück. Ein Tennisball springt aus einer Fallhöhe von 250cm auf Beton ca. 140 cm zurück, also 56% der Fallhöhe. a. Nimm an, dass sich das Verhalten des Zurückspringens wiederholt. Ermittle, wie hoch der Ball nach 5mal Aufprallen noch zurückspringt. b. Welchen Weg legt der Ball dabei zurück? Berechne. c. Überlege, wie oft der Ball aufspringt und versuche, das durch Rechnung zu begründen. Beurteile, ob das Modell realistisch ist. Begründe. d. Recherchiere, wie hoch ein Fußball zurückspringt, und vergleiche den maximalen Weg des Fußballs mit jenem des Tennisballs aus Aufgabe b. 81 Der Barwert einer vorschüssigen Jahresrente von R Euro bei einem Zinssatz i und einer Laufzeit von n Jahren ist die Summe B n = R + ​  R _  q ​+ ​  R _  ​q​ 2 ​ ​+ ​  R _  ​q​ 3 ​ ​+ … + ​  R _  ​q​ n – 1 ​  ​ , wobei q = 1 + i der Aufzinsungsfaktor ist. a. Begründe, warum es sich bei der Folge ​ k  ​B​ n ​  l ​um eine geometrische Reihe handelt. b. Argumentiere, warum diese Reihe konvergent ist. c. Zeige durch Nachrechnen, dass der Grenzwert des Barwerts B = R·​  q _  q – 1 ​ist. d. Berechne den Grenzwert dieses Barwertes für R = 1 000€ und i = 3% p.a. e. Ermittle, um welchen Betrag sich der in Aufgabe d. berechnete Grenzwert von B 50 unterscheidet. 82 Um das Gemeindebudget nicht übermäßig zu belasten, wird für eine Leistung eines Baumeisters Ratenzahlung vereinbart. So soll die Gemeinde im ersten Jahr eine Rate von 100000€ bezahlen. Im darauffolgenden Jahr bezahlt die Gemeinde nur noch die Hälfte der Rate, also 50000€, im dritten Jahr ein Drittel der Rate, also 33333,33€, im vierten Jahr ein Viertel usw. a. Berechnet, wie viel die Gemeinde in 10 Jahren und wie viel in 100 Jahren an den Baumeister gezahlt hat. b. Diskutiert, ob die Vereinbarung für die Gemeinde nützlich ist. c. Recherchiert zum Thema harmonische Reihe und stellt eure Ergebnisse übersichtlich dar, präsentiert die Ergebnisse der Klasse. A, B A B M Z  ggb 2nh4di A, B A, B, D B, D A, B, C, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv