Mathematik HTL 3, Schulbuch

247 5.3 Relationen Der Einheitskreis in R 2 ist kein Funktionsgraph, weil er zum Beispiel sowohl (0 1 1) als auch (0 1 ‒1) enthält. Er ist keine Äquivalenzrelation, weil er zum Beispiel (1 1 1) nicht enthält. Er ist auch keine Ordnungsrelation, weil er (1 1 0) und (0 1 1) enthält, also nicht antisymmetrisch ist. Durch „aRb genau dann, wenn die Zahl a ein Teiler von b ist“ wird eine Ordnungsrelation auf Menge der natürlichen Zahlen definiert. Oft wird a ‡ b für „a ist ein Teiler von b“ geschrieben. Aus a ‡ b und b ‡ c folgt a ‡ c, aus a ‡ b und b ‡ a folgt a = b. Für jede ganze Zahl n > 1 wird durch „aRb genau dann, wenn die Reste von a und von b nach Division mit Rest durch n gleich sind“ eine Äquivalenzrelation auf Z definiert. Es gibt genau n Äquivalenzklassen, nämlich die von 0, 1, …, n – 2 und n – 1. Manchmal wird die im vorangegangenen Abschnitt definierte Ring der Restklassen so definiert: Anstatt als Menge der natürlichen Zahlen von 0, 1, …, n – 1 wird Z n als Menge aller Äquivalenzklassen von R (wie oben) definiert. Die Äquivalenzklasse von 0 ist die Menge aller Vielfachen von n, die Äquivalenzklasse von 1 ist die Menge aller Zahlen, deren Rest nach Division mit Rest durch n gleich 1 ist, … Die Rechenoperationen + n bzw. × n ordnen dann den Äquivalenzklassen von a und b die Äquivalenzklasse von a + b bzw. ab zu. 1083 Überprüfe, ob die Relation R auf M ein Funktionsgraph, eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation ist. Begründe. a. M = Z ; aRb genau dann, wenn b ein Vielfaches von a ist b. M = Z × Z \ {0}; (a, b)R(c, d) genau dann, wenn ad = bc c. M = Menge aller Menschen; aRb genau dann, wenn a Cousine oder Cousin von b ist d. M = R ; aRb genau dann, wenn † a – b † ª 1 ist e. M = Menge aller Dreiecke; aRb genau dann wenn a und b kongruent sind 1084 Beschreibe geometrisch die Eigenschaften, die eine Teilmenge von R 2 haben muss, damit sie (als Relation auf R betrachtet) a. reflexiv, b. symmetrisch ist. 1085 Wenn eine Menge M die Vereinigung von n Teilmengen M 1 , M 2 , …, M n ist, die paarweise keine gemeinsamen Elemente enthalten, dann definieren wir die Relation R auf M durch: aRb genau dann, wenn es eine Zahl k so gibt, dass a und b in M k enthalten sind. Zeige, dass R eine Äquivalenzrelation ist. Bestimme die Äquivalenzklassen dieser Relation. 1086 Finde gemeinsam mit deiner Banknachbarin oder deinem Banknachbarn je zwei Beispiele von Zusammenhängen, denen ihr im Alltag begegnet, die durch einen Funktionsgraphen, eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation beschrieben werden können. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kenne Relationen als Möglichkeit zur Beschreibung von verschiedenen Zusammenhängen. 1087 In einer Firma gibt es 10 Mitarbeiter/innen und 10 Maschinen. Nicht alle Maschinen können von allen Mitarbeiter/innen bedient werden. Um Aufträge rasch erledigen zu können, wird erhoben, welche Mitarbeiterin /welcher Mitarbeiter welche Maschinen bedienen kann. Beschreibe das durch eine Relation und stelle diese in geeigneter Weise dar. Ich kenne Eigenschaften von Relationen. 1088 Mit R bezeichnen wir die Vereinigung der ersten Koordinatenachse, der zweiten Koordinaten achse und der 1. Mediane in R 2 , also die Menge {(a 1 0) ‡ a * R } ± {(a 1 a) ‡ a * R } ± {(0 1 a) ‡ a * R }. Überprüfe, ob R reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch oder transitiv ist. Begründe. D C A, D A A D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv