Mathematik HTL 3, Schulbuch

246 Algebraische Strukturen 1081 Ein CAS oder eine DGS ermöglicht uns, gewisse Relationen in R graphisch darzustellen. Stelle die Relation in einem Koordinatensystem dar. Begründe, warum sie kein Funktionsgraph ist. a. die Menge aller Paare (x, y) in R 2 mit der Eigenschaft x 2 + y 2 = 9 b. die Menge aller Paare (x, y) in R 2 mit der Eigenschaft 9x 2 + 4y 2 = 36 c. die Menge aller Paare (x, y) in R 2 mit der Eigenschaft y 2 = 4x d. die Menge aller Paare (x, y) in R 2 mit der Eigenschaft 16x 2 – 9y 2 = 144 1082 Stelle die Relation auf je zwei Arten dar. a. Eine Familie besteht aus Mutter, Vater, 2 Töchtern und 3 Söhnen. Für zwei Mitglieder x und y gilt xRy genau dann, wenn sie das gleiche Geschlecht haben. b. In einem Malkasten befinden sich die Farben Gelb, Orange, Hellrot, Dunkel, Hellgrün, Smaragdgrün, Grünblau, Hellblau, Saphirblau, Braun und Schwarz. Für zwei Farben a und b aus dem Malkasten gilt aRb genau dann, wenn ihre Bezeichnung mit dem gleichen Buchstaben beginnt. c. Auf einer Karte befinden sich die Städte München, Salzburg, Linz, Wien, Graz, Budapest, Bratislava und Prag. Für zwei Städte s und t gilt sRt, wenn sie nicht im gleichen Staat liegen. Spezielle Relationen Wir betrachten nun einige bedeutende Spezialfälle von Relationen. Eine Relation R auf M ist ein Funktionsgraph , wenn es zu jedem Element a * M höchstens ein Element b * M mit aRb gibt. Der Definitionsbereich der entsprechenden Funktion ist dann die Menge aller Elemente a von M, für die es ein Element b mit aRb gibt. Eine Relation R auf M ist eine Äquivalenzrelation , wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind: Die Relation ist reflexiv , das heißt, für alle a * M ist aRa. Die Relation ist symmetrisch , das heißt, für alle a, b * M folgt aus aRb auch bRa. Die Relation ist transitiv , das heißt, für alle a, b, c * M folgt aus aRb und bRc auch aRc. Ist R eine Äquivalenzrelation und a * M, dann nennt man die Menge aller b * M mit aRb die Äquivalenzklasse von a. Das Element a ist wegen aRa immer in seiner Äquivalenzklasse enthalten. Eine Relation R auf M ist eine Ordungsrelation, wenn die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind: Die Relation ist antisymmetrisch , das heißt: für alle a, b * M mit aRb und bRa folgt a = b. Die Relation ist transitiv . Beispiele: Der Graph jeder Funktion von einer Teilmenge von R nach R ist eine Relation auf R . Die durch „xRy genau dann, wenn x Schwester oder Bruder von y ist“ auf der Menge aller Menschen definierte Relation ist eine Äquivalenzrelation, wenn Halbgeschwister nicht als Schwester oder Bruder gelten. Die Äquivalenzklasse einer Person ist die Menge aller gemeinsamen Kinder seiner Eltern. Die durch „xNy genau dann, wenn x ein Nachkomme von y ist“ definierte Relation ist eine Ordnungsrelation auf der Menge aller Menschen. B, D A Funktionsgraph Äquivalenz relation Äquivalenz- klasse Ordnungsrelation Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv