Mathematik HTL 3, Schulbuch

245 5.3 Relationen Ich lerne Relationen als Möglichkeit zur Beschreibung von verschiedenen Zusammenhängen kennen. Ich lerne Eigenschaften von Relationen kennen. Wir haben schon oft Funktionen verwendet, um Zusammenhänge zwischen zwei Mengen zu modellieren. Eine Funktion ordnet jedem Element der ersten Menge genau ein Element der zweiten Menge zu. Damit kann man zum Beispiel gut das Ergebnis einer Umfrage beschreiben, bei der jede gefragte Person genau eine Lieblingsfarbe angeben muss. Wenn aber jede Person mehrere Lieblingsfarben oder gar keine angeben kann, müssen andere, allgemeinere Begriffe der Mathematik herangezogen werden. Eine Relation R auf einer Menge M ist eine Teilmenge von M×M. Wollen wir den Zusammenhang zwischen zwei Mengen A und B beschreiben, dann betrachten wir eine Relation auf der Vereini gungsmenge A ± B von A und B. Eine Relation kann auf verschiedene Weise dargestellt werden, zum Beispiel durch Anschreiben der Elemente von R zwischen geschwungenen Klammern, durch eine Tabelle, in der in der ersten Zeile und in der ersten Spalte Elemente von M aufgelistet sind und in der einige andere Tabellenkästchen angekreuzt sind. Ein Kreuz in einem Tabellenkästchen bedeutet, dass das Paar (erster Eintrag in dieser Zeile, erster Eintrag in dieser Spalte) zu R gehört, durch Angabe von Bedingungen an Paare in M, die von den Elementen von R und nur von diesen erfüllt werden, durch Darstellung von M als Menge von Punkten der Ebene und der Elemente (a, b) von R als Pfeile von a nach b. Anstatt (a, b) * R schreiben wir manchmal aRb. Beispiele: Eva, Julian und Tobias werden nach ihrer Lieblingsfarbe gefragt. Sie dürfen bis zu drei Farben nennen. Das Ergebnis wird in einer Tabelle dargestellt: rot blau grün gelb orange violett Eva x x x Tobias x x x Julian x x Das Umfrageergebnis ist eine Relation auf der Menge {Eva, Tobias, Julian, rot, blau, grün, gelb, orange, violett}. Es kann auch durch die Menge {(Eva, blau), (Eva, grün), (Eva, violett), (Tobias, rot), (Tobias, grün), (Tobias, orange), (Julian, gelb), (Julian, orange)} beschrieben werden. Der Graph einer Funktion f: R ¥ R ist eine Relation auf R , nämlich die Menge aller Paare (a, b) in R 2 mit der Eigenschaft b = f(a). Die Menge aller Paare (x, y) in R 2 mit der Eigenschaft x 2 + y 2 = 1 ist eine Relation auf R . Diese Menge ist der Einheitskreis in R 2 . Durch „uRv genau dann, wenn es vom Flughafen u zum Flughafen v einen Direktflug gibt“ wird eine Relation auf der Menge aller Flughäfen definiert. Relation Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv