Mathematik HTL 3, Schulbuch

24 Konvergente Folgen und stetige Funktionen 75 Der schwedische Mathematiker Helge von Koch hat im Jahr 1904 die heute nach ihm benannte „Kochsche Schneeflocke“ erfunden. Die Konstruktion einer solchen Schneeflocke kann man ähnlich einer Zahlenfolge rekursiv beschreiben: K 0 : Beginne mit einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge a. K n + 1 : Teile jede Seite von K n in drei gleich lange Teile und errichte über den jeweils mittleren Teilstücken wiederum ein gleichseitiges Dreieck. Den „Grenzwert“ dieser Folge nennt man „Kochsche Schneeflocke“. a. Berechne jeweils den Umfang von K 0  , K 1 und K 2  . b. Gib an, um welchen Faktor sich die Anzahl der Seiten ändert, wenn man K n + 1 aus K n konstruiert. c. Gib an, um welchen Faktor sich die Seitenlänge ändert, wenn man K n + 1 aus K n konstruiert. d. Verwende deine Resultate aus den Aufgaben b. und c. , um den Umfang von K n anzugeben. e. Zeige mithilfe des Resultats aus Aufgabe c. , dass der Umfang von K n beliebig groß werden kann. f. Die Fläche der Kochschen Schneeflocke ist ​ 4  1 + ​  1 _  3 ​+ ​  4 _  27 ​·​ 2   ​ ;  i = 0 ​  • ​ 2  ​  1 _ 3 ​  3 ​ i ​  3 ​  5 ​·​  ​a​ 2 ​ ​ 9 _ 3​ _ 4  ​ . Berechne diese Zahl. 76 Zur Berechnung des Kreisumfangs hat Archimedes von Syrakus (287 v.Chr.– 212 v.Chr.) vorgeschlagen, sich den Kreis aus unendlich vielen unendlich kleinen Strecken angenähert zu denken. Ist es umgekehrt möglich, sich eine Strecke aus „unendlich vielen unendlich kleinen“ Halbkreisen angenähert zu denken? Um eine Strecke der Länge a mit n Halbkreisen anzunähern, teilt man diese in n gleich lange Teile und überbrückt jeden dieser Teile durch einen Halbkreis. Den daraus entstehenden „Halbkreiszug“ bezeichnen wir mit H n . In der Abbildung sind H 1 bis H 4 abgebildet. Wir betrachten im Folgenden eine Strecke AB mit der Länge 12 cm. a. Berechne die Längen von H 1 und H 2  . b. Ermittle die Länge ø n des Halbkreiszugs H n  . c. Berechne den Grenzwert der Folge k ø n l  . d. Ermittle die Fläche A n der Menge, die vom nten Halbkreiszug H n und der Strecke AB eingeschlossen wird. e. Berechne den Grenzwert der Folge k A n l  . 77 Ein Turm wird aus Würfeln gebaut. Der erste Würfel hat eine Kantenlänge von 10m. Der nächste Würfel wird so verdreht aufgesetzt, dass die Kante des ersten Würfels im Verhältnis 3 : 5 geteilt wird. a. Gib an, wie hoch ein Turm wird, der aus 8 Würfeln besteht. b. Berechne, wie hoch so ein Turm ist, auch wenn er aus n Würfeln besteht. c. Berechne den Grenzwert für n ¥• der in Aufgabe b. berechneten Höhen des Turms mit n Würfeln. A, B, D  ggb a9c8zd K 0 K 1 K 2 K 3 A, B  ggb 6526ek A B H 1 H 2 H 3 H 4 A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv