Mathematik HTL 3, Schulbuch

230 Zusammenfassung: Matrizen 1013 Ein rechtwinkeliges Dreieck hat die Eckpunkte A = (‒1 1 ‒1), B = (5 1 ‒1) und C = (5 1 4). Berechne mithilfe einer Drehmatrix die Koordinaten des Dreiecks, wenn es um 120° gegen den Urzeigersinn um den Ursprung gedreht wird. 1014 Gib an, ob man die zwei gegebenen Matrizen multiplizieren kann. Wenn es möglich ist, berechne das Produkt. a. 2    1  2 4 ‒ 2 4  3   3 ‒7   2 3 ; 2  ‒1 3  2   2 ‒ 2  5   1  4 3 3 b. 2  3  8  1   4 2  ‒1 3 ; 2  ‒1 3 2    4 3 c. 2  ‒ 4 11   7    9 3 ; 2  3  1  4 ‒ 5 1  8   3 1015 Spiegle mithilfe einer Matrix das Quadrat A = (‒2 1 2), B = (‒1 1 2), C = (‒1 1 3), D = (‒ 2 1 3) um die gegebene Gerade g. a. g: {c·(1 1 1) ‡ c * R } b. g: {c·(1 1 2) ‡ c * R } c. g: {c·(‒ 3 1 1) ‡ c * R } 1016 Zeigt, dass eine Spiegelung eines Punktes P um eine Gerade g durch den Nullpunkt auch als Drehung um 180° um den Fußpunkt des Punktes P auf der Geraden g aufgefasst werden kann. Überprüft eure Überlegungen mithilfe einer DGS. 1017 Schreibe das lineare Gleichungssystem in Matrizenform A·x = b an und löse es, indem du die inverse Matrix von A berechnest. a. I) 3x + 2y = 5 b. I) 4x – 2y = 6 c. I) 5x + 11y = 17 II) 3x – y = 4 II) x + y = 3 II) 3y – 2y = ‒2 1018 Ein Viereck mit den Eckpunkten A = (‒3 1 5), B = (2 1 6), C = (0 1 8) und D = (‒1 1 8) soll um den Punkt Z = (2 1 0) um den Winkel 40° gegen den Urzeigersinn gedreht werden. Ermittle mithilfe einer Drehmatrix die Koordinaten des gedrehten Vierecks. 1019 Ermittle die Matrix der Spiegelung um die gegebene Gerade g. a. g: {c·(1 1 0) ‡ c * R } b. g: {c·(0 1 ‒1) ‡ c * R } c. g: {c·(1 1 1) ‡ c * R } 1020 a. Zeige, dass die Determinante einer Drehmatrix immer 1 ist. b. Zeige, dass die Determinante der Matrix einer Spiegelung um eine Gerade durch den Nullpunkt immer ‒1 ist. 1021 Das Dreieck mit den Eckpunkten A = (3 1 ‒1), B = (7 1 3) und C = (4 1 9) wird an der Geraden, die durch den Nullpunkt und den Punkt P = 2  cos   2    π _ 3   3   1  sin 2    π _ 3   3   3 gespiegelt. Berechne die Koordinaten der Eckpunkte des gespiegelten Dreiecks. 1022 Berechne. a. 2    2 ‒1   0   1  0 2 5  3  3 3 · 2    4  2 6 ‒1 3  1   0 ‒ 5  ‒1 3 b. 2  2    1  0 2   3 1 ‒ 4 2  5  3 3 + 2    4  1 2 ‒ 3 ‒1   2   0 ‒ 3  ‒ 2   3   3 · 2    1 2 ‒1 ‒1 2  1   0 ‒1   3 3 1023 Ermittle die inverse Matrix ohne die Verwendung technischer Hilfsmittel. a. 2  ‒1 1  2 5  0  1 2  2  5 3 b. 2  2  1  2   4  0 2   1  4 5 3 c. 2  2  4  6   0  3  1 2  2  5 3 B B B D B B B D B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv