Mathematik HTL 3, Schulbuch

23 1.2 Geometrische Reihen 69 Hannah möchte ihren Schokoladekonsum reduzieren und beschließt daher, von einer Schokoladetafel (300g) zunächst die Hälfte zu essen, einen Tag später isst sie vom Rest wieder die Hälfte und immer so weiter. Wie viel Schokolode hat Hanna nach 5 Tagen gegessen? Überlegt gemeinsam, wann Hannah die Schokolade ganz aufgegessen hat. Analysiert dieses Problem und vergleicht die praktische Antwort mit der theoretischen. 70 Für ein großes Mandala wird einem 4m 2 großen Quadrat ein Kreis eingeschrieben, diesem wiederum ein Quadrat usw. a. Berechne die Summe der Fläche aller Quadrate, wenn dieser Vorgang 10mal wiederholt wird. b. Ermittle die „Summe“ der Flächen aller Kreise, wenn dieser Vorgang beliebig oft wiederholt werden könnte. c. Gib die „Summe“ aller Flächen aller Quadrate und Kreise an, wenn dieser Vorgang unendlich oft wiederholt werden könnte. 71 Ein Weitwanderer legt am ersten Tag 42km zurück, am zweiten nur noch ​  2 _ 3 ​der Strecke, am dritten nur noch ​  2 _ 3 ​der Strecke vom zweiten Tag usw. a. Ermittle, wie weit der Wanderer nach 2 Wochen gegangen ist. b. Der Wanderer möchte einen Ort erreichen, der 126km vom Ausgangspunkt entfernt liegt. Wird er sein Ziel je erreichen? Begründe. 72 Einem Quadrat mit der Seitenlänge a wird ein Quadrat eingeschrieben, und diesem wieder ein Quadrat usw. und zwar so, dass die Ecke eines Quadrats auf dem Mittelpunkt der Seite des vorangehenden Quadrates liegt. a. Berechne die Summe aller Umfänge der ersten n Quadrate. b. Ermittle den Grenzwert für n ¥ • der Summen aus Aufgabe a. c. Berechne die Summe der Flächen der ersten n Quadrate. d. Ermittle den Grenzwert für n ¥ • der Summen aus Aufgabe c. 73 Einem Kreis mit d cm Durchmesser wird ein Kreis eingeschrieben, dessen Durchmesser ​  3 _ 4 ​·d cm beträgt. Diesem wird wieder ein Kreis eingeschrieben und immer so fort. a. Berechne für d = 10 cm die Summe der ersten 10 Umfänge. b. Ermittle für d = 10 cm die „Summe“ aller Flächen. c. Gib für einen beliebigen Durchmesser dcm die Summe aller Flächen und die „Summe“ aller Umfänge an. d. Wenn der Durchmesser des eingeschriebenen Kreises nur die Hälfte von ​  3 _ 4 ​d, also ​  3 _ 8 ​d beträgt, ist die „Summe“ aller Umfänge dann auch nur halb so groß? Prüfe diese Aussage. 74 Recherchiert gemeinsam den Aufbau eines SierpinskiDreiecks und überlegt, wie groß die Summe aller Umfänge der Dreiecke sein könnte. Gebt dazu zunächst die Länge der Umfänge nach einem, zwei, drei, vier und n Konstruktionsschritten an. Berechnet auch mithilfe eines CAS die Summe der Umfänge nach 5 und 10 Konstruktionsschritten. Präsentiert eure Ergebnisse der Klasse. C, D A, B  ggb 2i59e6 A, B, C A, B  ggb my36a9 A, B, D  ggb ji4h5w B, C  ggb 6we8ye Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv