Mathematik HTL 3, Schulbuch

226 Matrizen 996 Bestimme die Matrix der Spiegelung an der Geraden durch den Nullpunkt und den Punkt 2    cos 2    π _ 4   3 sin 2    π _ 4    3   3 . Spiegle den Punkt 2   1  0 3 an dieser Geraden. Die Matrix der Spiegelung ist 2  cos 2    π _ 2   3 sin 2    π _ 2   3   sin 2    π _ 2   3 ‒ cos 2    π _ 2   3   3 = 2   0  1  1  0 3 . Daher ist der gespiegelte Punkt 2   0  1  1  0 3 · 2   1  0   3 = 2   0  1   3 . 997 Berechne den Punkt, den man erhält, wenn man (2 1 1) an der Geraden durch den Nullpunkt und 2   cos( α )  sin( α )   3 spiegelt. a. α = 0° b. α = 60° c. α = 90° d. α = 120° e. α = 150° f. α = 100° 998 Einer Spiegelung an welcher Geraden durch den Nullpunkt entspricht die gegebene Matrix? Begründe. a. 2    1    0   0 ‒1 3 b. 2  ‒1 0 0    1 3 999 Zeige, dass für jeden Winkel α die Matrix A = 2   cos(2 α ) sin(2 α )  sin(2 α )  ‒ cos(2 α )   3 zu sich selbst invers ist: a. Durch Rechnen, indem du das Produkt A·A berechnest. b. Durch ein geometrisches Argument, indem du die Matrix A als Spiegelungen interpretierst. 1000 Erstelle mithilfe einer DGS „Das Haus vom Nikolaus“. Spiegle die Grafik anschließend an der Geraden durch den Nullpunkt und den Punkt (2 1 3), indem du die einzelnen Punkte mit einer geeigneten Matrix multiplizierst. 1001 Überlegt in Gruppen: a. Wie haben wir das Drehen um einen anderen als den Null punkt auf das Drehen um den Nullpunkt zurückgeführt? b. Versucht diese Überlegungen auf das Spiegeln um Geraden, die den Nullpunkt nicht enthalten, zu übertragen. Was habe ich in diesem Kapitel gelernt? Ich kann Drehungen in der Ebene mithilfe von 2×2-Matrizen beschreiben. 1002 Berechne die Drehmatrix zum Drehwinkel   π _ 6 . Berechne den Punkt, den man erhält, wenn man (‒1 1 ‒1) um den Punkt (1 1 0) um den Winkel   π _ 6 gegen den Uhrzeigersinn dreht. Ich kann Spiegelungen um Geraden durch den Nullpunkt in der Ebene mithilfe von 2×2-Matrizen beschreiben. 1003 Bestimme die Matrix der Spiegelung um die Gerade durch den Nullpunkt und den Punkt 2  cos 2    π _ 6   3 sin 2    π _ 6   3   3 . Spiegle den Punkt 2    3 ‒ 2   3 um diese Gerade. B die Matrix einer Spiegelung bestimmen B D D B x y 0 -1 1 2 4 5 6 3 -1 1 2 3 4 5 6 A B C D E D B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv