Mathematik HTL 3, Schulbuch

225 4.3 Drehungen und Spiegelungen in der Ebene Matrizen von Spiegelungen Ist P ein Punkt der Ebene und g eine Gerade, dann ist s g (P) ≠ P jener Punkt auf der Geraden durch P, die auf g normal steht, der vom Schnittpunkt dieser Geraden denselben Abstand wie P hat. Der Schnittpunkt dieser zwei Geraden ist dann der Strecken mittelpunkt der Strecke mit Endpunkten P und s g (P). Dieser Schnittpunkt ist zugleich auch der Fußpunkt des Lotes von P auf die Gerade g. Die Funktion s g , die jedem Punkt P den an der Geraden g gespiegelten Punkt s g (P) zuordnet, heißt Spiegelung um g. Wir wählen in der Ebene ein rechtwinkeliges Koordinatensystem und schreiben Punkte der Ebene als Spalten an. Wir nehmen nun an, dass der Nullpunkt auf der Geraden g liegt und wählen auf g einen Punkt auf dem Einheitskreis, diesen können wir als A = 2   cos( α )  sin( α )   3 anschreiben. Wir berechnen nun s g (P) für P = 2    x y   3 . Erinnern wir uns: Der Fußpunkt des Lotes von P auf die Gerade g durch den Nullpunkt und A ist 2    P·A _ A·A   3 A. Weil A auf dem Einheitskreis liegt, ist A·A = 1. Da der Fußpunkt des Lotes von P auf die Gerade g auch der Mittelpunkt   1 _ 2 (P + s g (P)) der Strecke zwischen P und s g (P) ist, erhalten wir (P·A)A =   1 _ 2 (P + s g (P)) und berechnen daraus s g (P) = 2·c·A – P = 2(cos( α )x + sin( α )·y)A – P = 2    2cos 2 ( α )x + 2sin( α )cos( α )y – x 2sin( α )cos( α )x + 2sin( α ) 2 y – y 3 = = 2   2cos 2 ( α ) – 1   2sin( α )cos( α )    2sin( α )cos( α )   2sin( α ) 2 – 1    3 · 2   x  y   3 = 2   cos(2 α ) sin(2 α )  sin(2 α )  ‒ cos(2 α )   3 · 2   x  y   3 . dabei haben wir die Summenformeln für die Sinusund die Cosinusfunktion verwendet: sin(2 α ) = 2sin( α )cos( α ) und cos(2 α ) = 2cos 2 ( α ) – 1. Stellen wir einen Punkt der Ebene (nach Wahl eines rechtwinkeligen Koordinatensystems) durch eine Spalte 2    x y   3 dar, dann ist 2   cos(2 α ) sin(2 α )  sin(2 α )  ‒ cos(2 α )   3 · 2   x  y   3 = 2   cos(2 α )·x + sin(2 α )·y sin(2 α )·x ‒ cos(2 α )·y 3 der Punkt, den man erhält, wenn man 2   x  y   3 an der Geraden durch den Nullpunkt und 2   cos( α )  sin( α )   3 spiegelt. Die Matrix 2   cos(2 α ) sin(2 α )  sin(2 α )  ‒ cos(2 α )   3 heißt Matrix der Spiegelung an dieser Geraden. x y P s g (P) g Spiegelung Matrix einer Spiegelung an einer Geraden durch den Nullpunkt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv