Mathematik HTL 3, Schulbuch

224 Matrizen 989 Der Punkt P = (4 1 0) wird gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel 90° um den Punkt Z = (‒2 1 3) gedreht. Berechne den gedrehten Punkt. Die Drehmatrix zum Drehwinkel 90° =   π _ 2 ist M = 2  0    1 ‒1 0   3 . Subtrahieren wir Z von Z und von P, so erhalten wir Z – Z = (0 1 0) und P – Z = (6 1 ‒3). Nun drehen wir P – Z um 90° um (0 1 0) und addieren zum gedrehten Punkt P’ wieder Z. Wir erhalten P’ = M·(P – Z) + Z P’ = 2  0    1 ‒1 0   3 · 2  2  4    0 3 –  2  ‒ 2 3   3   3 + 2  ‒ 2 3   3 = 2  0    1 ‒1 0   3 · 2    6 ‒ 3   3 + 2  ‒ 2 3   3 = 2  3    6 3 + 2  ‒ 2 3   3 = 2    1    9 3 . Der gedrehte Punkt ist daher (1 1 9). 990 Berechne den Punkt, den man erhält, wenn man (2 1 3) gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel α um den Punkt Z dreht. Ermittle diesen Punkt dann auch durch eine Zeichnung mit Zirkel und Lineal. a. α = 90°; Z = (1 1 0) c. α = 60°; Z = (1 1 1) e. α = 45°; Z = (1 1 0) b. α = 90°; Z = (0 1 1) d. α = 270°; Z = (‒1 1 ‒1) f. α = 45°; Z = (2 1 4) 991 Erzeuge mithilfe einer DGS „Das Haus vom Nikolaus” (siehe Aufgabe 986). Erstelle danach einen beliebig verschiebbaren Punkt Z, der infolge als Drehzentrum dienen soll. Anschließend erstelle einen Schieberegler für den Winkel φ aus dem Intervall [0; π ]. Erzeuge nun mithilfe einer geeig neten Matrix und einer geeigneten Verschiebung eine Drehung um den Winkel φ um das Drehzentrum Z. Beobachte, wie sich unterschiedliche Positionen von Z auf das Ergebnis der Drehung auswirken. 992 Ein Roboterarm besteht aus zwei Drehgelenken, die fest miteinander verbunden sind. Das erste Drehgelenk ist im Punkt (1 1 0) fest montiert, das zweite Drehgelenk befindet sich zurzeit im Punkt (2 1 0). Mit dem Drehgelenk ist eine Greifhand verbunden, die sich zurzeit im Punkt (4 1 0) befindet. a. Bestimme, über welchem Punkt sich die Greifhand befindet, wenn zuerst das erste Dreh gelenk um 60° und dann das zweite Drehgelenk um 90° (jeweils gegen den Uhrzeigersinn) gedreht wird. b. Ermittle, über welchem Punkt sich die Greifhand befindet, wenn zuerst das zweite Dreh gelenk um 90° und dann das erste Drehgelenk um 60° (jeweils gegen den Uhrzeigersinn) gedreht wird. 993 a. Konstruiere mithilfe einer DGS den Roboterarm aus Aufgabe 992. Dabei soll der Arm des Roboters mithilfe zweier Schieberegler für die Winkel α und β gesteuert werden. b. Versuche die Greifhand auf den Punkt (3 1 2) zu steuern. Welche Winkel α und β sind dazu nötig? 994 Konstruiert mithilfe einer DGS einen Roboterarm, der aus drei mit Gelenken verbundenen beweglichen Gliedern besteht. Die Längen der Glieder sollen dabei 2,5m, 1,5m und 1m betragen. An den Gelenken sollen sie jeweils in beide Richtungen um 180° drehbar sein, wobei die Dreh winkel mithilfe von Schiebereglern einstellbar sind. 995 Zeichnet mithilfe einer DGS ein einfaches Strichmännchen, dessen Arme und Beine über Schieberegler bewegt werden können. Bei einigen DGS gibt es die Möglichkeit, die Schieberegler zu „animieren“. Findet heraus, welche Befehle dazu nötig sind, und bewegt euer Männchen automatisch. B einen gedrehten Punkt berechnen ggb 298t9v B B, C A, B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv