Mathematik HTL 3, Schulbuch

223 4.3 Drehungen und Spiegelungen in der Ebene 984 Erstelle mit einer DGS zunächst einen Schieberegler für die Zahl α aus einem Bereich von 0 bis 2 π , sowie den Punkt P = (2 1 0). Anschließend erzeuge die Matrix M = 2    cos( α ) sin( α )   ‒ sin( α )   cos( α )   3 und berechne damit den Punkt Q = M·P (dabei wird P als Spalte geschrieben). Beschreibe, was mit dem Punkt Q passiert, wenn du den Schieberegler bedienst. 985 Zeige, dass die Matrizen A = 2    cos(a) ‒ sin(a) sin(a) cos(a)   3 und B = 2    cos(‒ a) ‒ sin(‒ a) sin(‒ a) cos(‒ a)   3 zueinander invers sind: a. Durch Rechnen, indem du das Produkt A·B berechnest. b. Durch ein geometrisches Argument, indem du die Matrizen A und B als Drehungen interpretierst. 986 Erstelle mithilfe einer DGS die hier abgebildete bekannte Grafik „Das Haus vom Nikolaus”. Drehe die Grafik anschließend um 75° gegen den Uhrzeigersinn um den Nullpunkt, indem du die einzelnen Punkte mit einer geeigneten Matrix multiplizierst. 987 Überlegt in Gruppen: a. Dreht man einen Punkt P um den Nullpunkt zuerst um den Winkel α und dann den gedrehten Punkt um den Winkel β , erhält man denselben Punkt, wie wenn man P um den Winkel α + β dreht. b. Folgert aus Aufgabe a. : Das Produkt der Drehmatrix zu den Winkeln α und β ist die Drehmatrix zum Winkel α + β . c. Warum ergibt Aufgabe b. eine Möglichkeit, sich die Summensätze für Sinus und Cosinus zu merken? 988 Drehe mithilfe einer Drehmatrix das angegebene Viereck um den Winkel α um (0 1 0). a. A = (4 1 2), B = (2 1 5), C = (4 1 4), D = (2 1 4); α = 45° b. A = (4 1 3), B = (1 1 1), C = (4 1 5), D = (1 1 3); α = 20° c. A = (4 1 2), B = (3 1 0), C = (3 1 3), D = (2 1 2); α = 220° d. A = (3 1 2), B = (1 1 1), C = (2 1 4), D = (‒ 2 1 2); α = ‒ 30° Drehungen um beliebige Punkte Will man einen Punkt P nicht um den Nullpunkt, sondern um einen anderen Punkt Z („Zentrum der Drehung”) um den Winkel α gegen den Uhrzeigersinn drehen, dann kann man zuerst die Punkte P und Z durch Subtraktion von Z verschieben: P wird nach P – Z und Z nach Z – Z = (0 1 0) verschoben. Dann drehen wir P (durch Multiplikation mit der Drehmatrix zum Winkel α ) um den Nullpunkt um den Winkel α und verschieben den gedrehten Punkt durch Addition von Z wieder zurück. Schreiben wir P und Z als Spalten an, erhalten wir: Ist Z = 2   a  b   3 ein Punkt der Ebene, α eine Zahl aus dem Intervall [0; 2 π ) und 2   x  y   3 ein Punkt der Ebene, dann ist P = 2   cos( α ) ‒ sin( α ) sin( α ) cos( α )   3 · 2   x – a  y – b   3 + 2   a  b 3 = = 2   cos( α )·(x – a) – sin( α )·(y – b) + a    sin( α )·(x – a) + cos( α )·(y – b) + b   3 der Punkt, den man erhält, wenn man 2   x  y   3 gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel α um den Punkt 2   a  b 3 dreht. B, C ggb a5hr34 D B x y 0 -1 1 2 4 5 6 3 -1 1 2 3 4 5 6 A B C D E D B Drehung um einen Punkt x y α (x 1 y) P Z a x b y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv