Mathematik HTL 3, Schulbuch

222 4.3 Drehungen und Spiegelungen in der Ebene Ich lerne Drehungen in der Ebene mithilfe von 2×2-Matrizen zu beschreiben. Ich lerne Spiegelungen an Geraden durch den Nullpunkt in der Ebene mithilfe von 2×2-Matrizen zu beschreiben. Drehmatrizen Im Vorjahr haben wir Drehungen um den Nullpunkt in der Ebene kennengelernt: Nach Wahl eines rechtwinkeligen Koordinatensystems in der Ebene haben wir einen Punkt als Paar reeller Zahlen (x 1 y) aufgefasst und dann als komplexe Zahl x + y·j betrachtet. Um diesen Punkt um den Winkel α gegen den Uhrzeigersinn zu drehen, haben wir x + y·j mit der komplexen Zahl e i α = cos( α ) + sin( α )·j multipliziert: Der gedrehte Punkt war dann die komplexe Zahl (cos( α ) + sin( α )·j)·(x + y·j) = cos( α )·x – sin( α )·y + (cos( α )·y + sin( α )·x)·j = = (cos( α )·x – sin( α )·y 1 cos( α )·y + sin( α )·x). Schreiben wir dieses Zahlenpaar als Spalte, können wir es als Produkt einer 2×2Matrix mit der Spalte 2    x y   3 darstellen: 2   cos( α )·x – sin( α )·y sin( α )·x + cos( α )·y   3 = 2   cos( α )  sin( α )  ‒ sin( α )  cos( α )    3 · 2   x  y   3 Ist α eine Zahl aus dem Intervall [0; 2 π ), dann heißt die reelle 2×2Matrix 2   cos( α )  sin( α )  ‒ sin( α )  cos( α )    3 Drehmatrix zum Drehwinkel α . Stellen wir einen Punkt der Ebene (nach Wahl eines rechtwinkeligen Koordinatensystems) durch eine Spalte 2    x y   3 dar, dann ist 2   cos( α )  sin( α )  ‒ sin( α )  cos( α )    3 · 2   x  y   3 = 2   cos( α )·x – sin( α )·y sin( α )·x + cos( α )·y 3 der Punkt, den man erhält, wenn man 2    x y   3 gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel α um den Nullpunkt dreht. 981 Bestimme die Drehmatrix zum Winkel   π _ 4 = 45°. Drehe den Punkt (2 1 1) um den Winkel   π _ 4 um den Nullpunkt. Die Drehmatrix zum Winkel   π _ 4 ist 2    cos 2    π _ 4   3 ‒ sin 2    π _ 4   3 sin 2    π _  4 3    cos 2    π _ 4   3 3 = 2    9 _ 2 _ 2    9 _ 2 _ 2  ‒   9 _ 2 _ 2    9 _ 2 _ 2    3 . Daher ist der gedrehte Punkt 2    9 _ 2 _ 2    9 _ 2 _  2  ‒   9 _ 2 _ 2    9 _ 2 _ 2    3 · 2    2 1   3 = 2      9 _ 2 _ 2    3 9 _ 2 _ 2    3 . 982 Berechne den Punkt, den man erhält, wenn man (2 1 3) um den Nullpunkt gegen den Uhrzeiger sinn um den Winkel α dreht. a. α = 90° b. α = 270° c. α = 60° d. α = 120° e. α = 45° f. α = 100° 983 Einer Drehung um welchen Winkel entspricht die Matrix a. 2  0    1 ‒1 0   3 , b. 2    0 ‒1   1    0 3 ? Begründe. Drehmatrix 45° x y 0 1 2 1 2 (2 1 1) 3√2 2 √2 2 1 ( ) B eine Drehmatrix berechnen B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv