Mathematik HTL 3, Schulbuch

22 Konvergente Folgen und stetige Funktionen 62 Berechne den Grenzwert der geometrischen Reihe mit Anfangsglied a und Quotient q. a. a = 2; q =   1 _ 2 b. a = 7; q =   1 _ 4 c. a = 9; q = ‒   1 _ 2 d. a = 1; q = 0,01 63 Bestimme den Quotienten der geometrischen Reihe mit Anfangsglied a und Grenzwert g. a. a = 5; g = 7,5 b. a = 8; g =   32 _ 5  c. a = 1; g = 0,9 d. a = ‒ 2; g = ‒   16 _ 9  64 Ermittle das Anfangsglied der geometrischen Reihe mit Quotient q und Grenzwert g. a. q =   1 _ 3 ; g =   3 _ 4 b. q = ‒   1 _ 4 ; g = ‒ 4 c. q =   1 _ 6 ; g = 8,4 d. q =   1 _ 7 ; g = ‒   3 _ 5 65 Achilles verfolgt eine Schildkröte. Er läuft (mit konstanter Geschwindigkeit) doppelt so schnell wie die Schildkröte, ist aber 10m von ihr entfernt. Wenn Achilles diese 10m gelaufen ist, ist die Schildkröte   10 _ 2  m von Achilles entfernt. Hat Achilles auch diese 5m zurückgelegt, ist die Schild kröte noch immer vor ihm, und zwar   10 _ 4  m. Ist Achilles dort angelangt, ist die Schildkröte schon wieder weg und noch   10 _ 8  m vor ihm. Wird Achilles die Schildkröte je erreichen? a. Berechne den Grenzwert der geometrischen Reihe k  10, 10 +   10 _ 2  , 10 +   10 _ 2  +   10 _ 4  , …, ;  i = 0   n 10· 2    1 _ 2   3 i , …  l und interpretiere, was dieser Grenzwert für Achilles und die Schildkröte bedeutet. b. Wenn Achilles in t Sekunden 10m läuft, dann läuft er in   t _ 2 Sekunden   10 _ 2  m, in   t _ 4 Sekunden   10 _ 4  m und in   t _  2 n Sekunden   t _  2 n m. Berechne den Grenzwert der Reihe k  t, t +   t _ 2 , t +   t _ 2 +   t _ 4 , …, ;  i = 0   n t· 2    1 _ 2   3 i , …  l . c. Bestimme, wie viel Meter Achilles laufen muss, um die Schildkröte zu erreichen, ohne Grenz werte zu berechnen. 66 Überprüfe, welcher Grenzwert zur angegebenen geometrischen Reihe mit Anfangsglied a und Quotient q passt. Begründe. a. a = 3; q = 2 A 1 B 3 C   1 _ 3 D ‒ 3 E Die Reihe ist divergent. b. a = ‒ 2; q =   1 _ 2 A ‒ 2 B 1 C ‒ 4 D   1 _ 2 E Die Reihe ist divergent. c. a =   1 _ 4 ; q = ‒   1 _ 4 A   1 _ 2 B   1 _ 4 C   1 _ 5 D 1 E Die Reihe ist divergent. d. a = 45; q = ‒ 0,1 A 45 B ‒   451 _ 11  C   11 _  450  D   450 _ 11  E Die Reihe ist divergent. 67 Welche der Aussagen sind richtig? Begründe. A Eine geometrische Reihe mit Quotient q ist konvergent, wenn q < 1 ist. B Eine geometrische Reihe mit Quotient q ist konvergent, wenn q im Intervall [‒1; 1] liegt. C Eine geometrische Reihe mit Quotient q ist konvergent, wenn q im Intervall (‒1; 1) liegt. D Eine geometrische Reihe mit Quotient q ist divergent, wenn † q † º 1 ist. 68 In der Tabelle sind das Anfangsglied a und der Quotient q einer geometrischen Reihe gegeben. Entscheide, ob die Reihe konvergiert oder nicht. Berechne, wenn möglich, den Grenzwert. a q Grenzwert a. 5 0,2 b. 12 0,25 c. 7 2 d. ‒ 5 0,5 B B B B, C D D B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv