Mathematik HTL 3, Schulbuch

218 Matrizen 967 Ermittle die Lösung des Systems linearer Gleichungen mithilfe eines geeigneten CAS. a. 2  5  4  2   3 3 ‒ 5   1  5  1 3 ·x = 2    4  5 3 3 c. 2  ‒ 2 3  2   1  2 4   2 4 ‒1 3 ·x = 2    9  6 4 3 e. 2    0 ‒ 3   5   4 3 ‒1   7  6  3 3 ·x = 2  11 5  4   3 b. 2    2 ‒ 3  2 ‒1 2  4 2  4  1 3 ·x = 2  8  4  8 3 d. 2    8 ‒ 2 6 9  1  0 5  7  2 3 ·x = 2  6  9  2 3 f. 2    5 8 ‒ 4   4 ‒ 2  4 4  4  9 3 ·x = 2  ‒ 2 8  3   3 Berechnung der inversen Matrix Betrachten wir nochmals die Aufgabe „Löse die Systeme linearer Gleichungen 2   3 1  2 1   3 · 2    x 1 x 2    3 = 2   1  0   3 und 2   3 1  2 1   3 · 2    x 1 x 2   3 = 2   0  1   3 “. Wegen det 2  2   3 1  2 1 3   3 = 3·1 – 1·2 = 1 ist die Koeffizientenmatrix A = 2   3 1  2 1 3 invertierbar und die zu A inverse Matrix ist A ‒1 = 2    1 ‒ 2 ‒1 3   3 . Die Lösung des ersten Systems linearer Gleichungen ist A ‒1 · 2    1    0 3 = 2    1 ‒ 2 ‒1 3   3 · 2    1    0 3 = 2    1 ‒ 2   3 und die des zweiten ist A ‒1 · 2  0    1 3 = 2    1 ‒ 2 ‒1 3   3 · 2  0    1 3 = 2  ‒1 3   3 . Ist dir in bei dieser Aufgabe etwas aufgefallen? Die Lösungen von A·x = 2    1    0 3 und von A·x = 2  0    1 3 sind genau die erste und die zweite Spalte von A ‒1 . Eigentlich ist das nicht überraschend. Mit e i bezeichnen wir die i-te Standardspalte mit n Zeilen , das ist die Spalte mit n Zeilen, in deren iter Zeile 1 und sonst überall 0 steht, also e 1 = 2    1    0  …  … 0   3 , e 2 = 2    0    1  0 … 0   3 , …, e n = 2    0   …   …    0 1 3 . Das Produkt M·e 1 einer beliebigen n×nMatrix M mit der ersten Standardspalte e 1 ist die erste Spalte von M. Man rechnet ebenso leicht nach, dass das Produkt von M mit der zweiten, dritten, …, nten Standardspalte gleich der zweiten, dritten, …, nten Spalte von M ist. Wir erhalten damit ein Verfahren, die inverse Matrix A ‒1 zu einer gegebenen invertierbaren Matrix A zu berechnen: Wir lösen die Systeme linearer Gleichungen A·x = e 1 , A·x = e 2 …, A·x = e n und erhalten als Lösungen A ‒1 ·e 1 , A ‒1 ·e 2 …, A ‒1 ·e n , also die erste, zweite…, nte Spalte von A ‒1 . Es wäre mühsam, jedes Mal n Systeme linearer Gleichungen zu lösen, um eine einzige Matrix zu berechnen. Wir können diese Berechnungen aber abkürzen und erhalten so ein Verfahren, um die Inverse einer Matrix zu berechnen. B Standardspalte Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum d s Verlags öbv