Mathematik HTL 3, Schulbuch

212 Matrizen Eine 2×2Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante nicht 0 ist. In diesem Fall ist A ‒1 =   1 _  det(A) · 2    A 22 ‒A 21 ‒A 12 A 11   3 die zu A inverse Matrix. 948 Berechne in den Fällen, wo dies möglich ist, die inverse Matrix A ‒1 zur gegebenen 2×2Matrix A. Kontrolliere das Ergebnis, indem du A ‒1 ·A berechnest. Sollte die inverse Matrix A ‒1 nicht existieren, so gib an, woran man das in diesem Fall erkennt. a. 2   1 4  2 9 3 d. 2  2   4  6   ‒1 3 g. 2   3 ‒1  6 ‒ 2   3 j. 2    0,3 ‒ 2,1 ‒1,9 1,7   3 b. 2   1 0  0 1 3 e. 2   7 0  2 3 3 h. 2  1,2 ‒1 ‒ 2 3   3 k. 2      1 _ 2 ‒   1 _ 4 0   1 _ 3   3 c. 2   8   ‒ 4 ‒ 2   1   3 f. 2  3   0 ‒ 5   0   3 i. 2   0 1  1 0 3 l. 2      1 _ 2   2 _ 5   1 _ 4 ‒   4 _ 3 3 949 Löse die Systeme linearer Gleichungen 2   3 1  2 1 3 · 2    x 1    x 2   3 = 2   1  0 3 und 2   3 1  2 1 3 · 2    x 1 x 2   3 = 2   0  1   3 . Wegen det 2  2   3 1  2 1   3   3 = 3·1 – 1·2 = 1 ist die Koeffizientenmatrix A = 2   3 1  2 1   3 invertierbar und die zu A inverse Matrix ist A ‒1 = 2   1   ‒ 2 ‒1   3   3 . Die Lösung des ersten Systems linearer Gleichungen ist A ‒1 · 2   1  0 3 = 2   1   ‒ 2 ‒1   3   3 · 2   1  0 3 = 2   1   ‒ 2   3 und die des zweiten ist A ‒1 · 2   0  1   3 = 2   1   ‒ 2 ‒1   3   3 · 2   0  1   3 = 2  ‒1   3   3 . Es genügt also, A ‒1 einmal zu berechnen, um dann für jede Spalte b eine Lösung von A·x = b durch eine Multiplikation der Matrix A ‒1 mit der Spalte b zu erhalten. 950 Löse die in Matrizenform A·x = b gegebenen linearen Gleichungssysteme, indem du die inverse Matrix von A berechnest. a. I. 2  3   2 8   7 3 · 2    x 1 x 2   3 = 2  11   9   3 II. 2  3 8    2 7 3 · 2    x 1 x 2   3 = 2   2   ‒ 3   3 III. 2  3 8    2 7 3 · 2    x 1    x 2   3 = 2   1   0 3 b. I. 2  ‒ 2   6 2   4 3 · 2    x 1    x 2   3 = 2   1   0 3 II. 2  ‒ 2   6 2   4 3 · 2    x 1    x 2   3 = 2  1,5 ‒ 2   3 III. 2  ‒ 2   6 2   4 3 · 2    x 1 x 2   3 = 2  0   1 3 951 Schreibe das lineare Gleichungssystem in Matrizenform A·x = b an und löse dieses, indem du die inverse Matrix von A berechnest. a. I) 2x + 4y = ‒ 2 b. I) 3x – 4y = 12 c. I) x + 2y = 6 II) 2x + 3y = 1 II) 4x + y = ‒1 II) 6x – y = ‒11 952 Familie Maier, bestehend aus 1 Erwachsenen und 3 Kindern, und Familie Müller, bestehend aus 2 Erwachsenen und 2 Kindern, besuchen gemeinsam den Eislaufplatz in Mödling. Familie Maier bezahlt 8,00€, Familie Müller 9,60€. Am darauffolgenden Wochenende besuchen sie gemein sam das Schwimmbad und dort bezahlt Familie Maier 7,90€ und Familie Müller 9,00€. Ermittle die Eintrittspreise pro Erwachsenem und pro Kind am Eislaufplatz und im Schwimmbad. Löse die Aufgabe möglichst geschickt mithilfe von Matrizen. Inverse einer 2×2-Matrix A, D B ein System linearer Gleichungen lösen ggb/mcd/tns 6wf6f4 B B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv