Mathematik HTL 3, Schulbuch

211 4.1 Systeme linearer Gleichungen in Matrizenform Invertierbare Matrizen und Systeme linearer Gleichungen in Matrizenform Wir haben im ersten Jahrgang Systeme linearer Gleichungen kennengelernt und im zweiten Jahrgang gelernt, wie man sie mithilfe von Matrizen kürzer anschreiben kann. Das System linearer Gleichungen  2x 1 – 3x 2 +  x 3 = 2    x 1 +   x 2 – 2x 3 = 1 ‒ x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 4 können wir kürzer so anschreiben: ​ 2  ​  2 1 ‒1 ​ ​ ‒ 3 1  2 ​ ​  1 ‒ 2  3 ​  3 ​·​ 2  ​  x 1 x 2 x 3 ​  3 ​= ​ 2  ​ 2  1  4 ​ 3 ​ Man nennt das die Matrizenform eines Systems linearer Gleichungen. Ein System linearer Gleichungen mit m Gleichungen und n Unbekannten (in Matrizenform) ist die folgende Aufgabe: Gegeben sind eine m×nMatrix A und eine Spalte b mit m Zeilen. Gesucht ist eine Beschreibung der Menge aller Spalten x (mit n Zeilen) mit der Eigenschaft A·x = b. Wenn es nur eine solche Spalte gibt, dann wird diese Spalte gesucht. Wir schreiben für diese Aufgabe kurz: „Das System linearer Gleichungen A·x = b.” Die Matrix A heißt Koeffizientenmatrix dieses Systems linearer Gleichungen. Wahrscheinlich ist die Matrizenform die älteste Form der Darstellung von Systemen linearer Gleichungen. In China wurden bereits vor mehr als 2000 Jahren solche Systeme gelöst. Wenn es zu einer n×nMatrix A eine n×nMatrix B mit der Eigenschaft A·B = E n = B·A gibt, dann ist die Matrix A invertierbar und wir schreiben A ‒1 für B. A ‒1 heißt die zu A inverse Matrix . Wenn die Koeffizientenmatrix A des Systems linearer Gleichungen A·x = b invertierbar ist, dann gibt es genau eine Lösung, nämlich die Spalte A ‒1 ·b. Diese Behauptung kann leicht nachgeprüft werden: Wegen A·(A ‒1 ·b) = (A·A ‒1 )·b = E n ·b = b ist A ‒1 ·b eine Lösung. Wenn die Spalte z eine Lösung von A·x = b ist, dann ist b = A·z, also auch A ‒1 ·b = A ‒1 ·(A·z) = (A ‒1 ·A)·z = E n ·z = z, also gibt es nur diese eine Lösung. Achtung Beachte, dass nicht alle von der Nullmatrix verschiedenen Matrizen invertierbar sind, zum Beispiel ist die Matrix ​ 2  ​ 0  1 ​ ​ 0  0 ​ 3 ​nicht invertierbar. In zweiten Jahrgang haben wir uns überlegt, wie man feststellen kann, ob eine 2×2Matrix invertierbar ist und wie man gegebenenfalls die dazu inverse Matrix berechnen kann. Ist A eine 2×2Matrix, dann nennen wir die Zahl A 11 A 22 – A 21 A 12 die Determinante von A, wir schreiben dafür: det(A). Beispiel: det ​ 2   ​ 2  ​ 2  1 ​ ​ 3  4 ​  3 ​  3 ​= ​2·4 – 1·3 = ​5 System linearer Gleichungen (in Matrizen- form) Koeffizienten- matrix invertierbar, inverse Matrix Determinante Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv