Mathematik HTL 3, Schulbuch

21 1.2 Geometrische Reihen Daher ist lim  n ¥• 2    ;  i = 0   n 2    1 _ 2   3 i   3 = lim  n ¥•   1 – 2    1 _ 2   3 n + 1 __ 1 –   1 _  2 =   lim   n ¥• 2  1 – 2    1 _ 2   3 n + 1   3 __  lim    n ¥• 2  1 –   1 _ 2   3 =   1 _   1 _ 2 = 2. Allgemein ist für q ≠ 1 ;  i = 0   n a·q i = a·  1 – q n + 1 __ 1 – q  . Wenn † q † < 1 ist, dann konvergiert die Folge k q n + 1 l gegen 0. Daher konvergiert auch die Folge k  a·  1 – q n + 1 _ 1 – q    l =   a _  1 – q · k 1 – q n + 1 l =   a _  1 – q k 1 l –   a _  1 – q k q n + 1 l gegen den Grenzwert   a _  1 – q . Wenn q = 1 ist, dann ist k    ;  i = 0   n a·q i   l = a· k 1, 2, 3, … l , also eine divergente Folge. Wenn q = ‒1 ist, dann ist k    ;  i = 0   n a·q i   l = a· k 1, 0, 1, 0, 1, 0, … l , also ebenfalls divergent. Wenn † q † > 1 ist, dann werden die Potenzen † q † n beliebig groß, also divergiert auch die geometrische Reihe k    ;  i = 0   n a·q i   l = k  a·  1 – q n + 1 __ 1 – q    l . Die geometrische Reihe k    ;  i = 0   n a·q i   l mit Anfangsglied a und Quotient q ist genau dann konvergent, wenn † q † < 1 ist. In diesem Fall ist ;  i = 0   • a·q i = lim    k ¥• ;  i = 0   k a·q i =   a _  1 – q . 58 Berechne den Grenzwert der geometrischen Reihe mit Anfangsglied 5 und Quotient   1 _ 9 . Es ist lim   k ¥• ;  i = 0   k 5 2    1 _ 9   3 i = ;  i = 0   • 5· 2    1 _ 9   3 i =   5 _  1 –   1 _ 9 =   45 _ 8  . Der Grenzwert dieser Reihe ist   45 _ 8  . 59 Berechne den Quotienten einer geometrischen Reihe mit Anfangsglied 1, deren Grenzwert 7 ist. Wir suchen den Quotienten q so, dass   1 _  1 – q = 7 ist. Dann muss 1 = 7 – 7q sein, also ist q =   6 _ 7 . Der gesuchte Quotient ist   6 _ 7 . 60 Gegeben sind das Anfangsglied a und der Quotient q einer geometrischen Folge. Bestimme die ersten fünf Glieder der dazugehörigen geometrischen Reihe. a. a = 3; q = 1 b. a = 8; q =   1 _ 2 c. a =   1 _ 2 ; q = 2 d. a = 2; q = ‒2 61 Bestimme, ob die durch das Anfangsglied a und den Quotienten q gegebene geometrische Reihe konvergent ist oder nicht. a. a = 2016; q =   1 _ 2 b. a = ‒1; q = 1 c. a = 15; q =   1 _ 5 d. a = 40; q = ‒   1 _ 2 Grenzwert der geometrischen Reihe B den Grenzwert einer geometrischen Reihe berechnen mcd/tns 88tk8h B den Quotienten einer geometrischen Reihe mit gegebenem Grenzwert berechnen B B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv