Mathematik HTL 3, Schulbuch

209 4.1 Systeme linearer Gleichungen in Matrizenform Die Multiplikation von Matrizen erfolgt nicht koeffizientenweise. Wenn Z = (Z 1  , Z 2  , …, Z n ) eine Zeile mit n Einträgen und S = ​ 2  ​  ​  S 1 S 2 ​ ​     S n ​ ​  3 ​eine Spalte mit ebenfalls n Einträgen ist, dann nennen wir die Zahl Z·S = (Z 1  , Z 2  , …, Z n )·​ 2  ​  ​  S 1 S 2 ​ ​     S n ​ ​  3 ​= Z 1 S 1 + Z 2 S 2 + … + Z n S n das Produkt der Zeile Z mit der Spalte S . Dabei ist es wichtig, dass die Zeile gleich viele Einträge hat wie die Spalte. Mit dem Summenzeichen schreiben wir kurz Z·S = ​ ;  i = 1 ​  n ​ Z i S i ​ . Das Produkt einer m×nMatrix A und einer n×pMatrix B ist die m×pMatrix A·B, deren ijter Koeffizient das Produkt der iten Zeile von A mit der jten Spalte von B ist, i = 1, 2, …, m und j = 1, 2, …, p. Mit dem Summenzeichen schreiben wir kurz: A·B ist die m×pMatrix mit dem ijten Koeffizienten (A·B) ij = ​ ;  k = 1 ​  n ​ A ik ·B kj ​ . Achtung Das Produkt von zwei Matrizen ist nur für den Fall definiert, dass die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist. 941 Berechne das Produkt A·B, wobei A = ​ 2  ​ 1   10 ​ ​‒ 5   4 ​ ​ 3   ‒1 ​ 3 ​und B = ​ 2  ​  2 ‒ 6  0 ​ ​  3 1  ‒ 2 ​  3 ​ist. A·B = ​ 2  ​ 1   10 ​ ​‒ 5   4 ​ ​ 3   ‒1 ​ 3 ​·​ 2  ​  2 ‒ 6  0 ​ ​  3 1  ‒ 2 ​  3 ​= ​ 2  ​  1·2 + (‒5)·(‒ 6) + 3·0 10·2 + 4·(‒6) + (‒1)·0 ​  ​  1·3 + (‒5)·1 + 3·(‒2) 10·3 + 4·1 + (‒1)·(‒ 2) ​ 3 ​= ​ 2  ​ 32   ‒ 4 ​ ​‒ 8   36 ​  3 ​ Mit E n bezeichnen wir die n-te Einheitsmatrix , das ist die n×nMatrix, deren Koeffizienten gleich 1 sind, wenn der Zeilenindex gleich dem Spaltenindex ist, und 0 sind, wenn diese Indizes verschieden sind. E n = ​ 2  ​  ​1 0 0 0 0      0 1 0 0 0 ​ ​     0 0 0 0 1 ​ ​ 3 ​ Für alle m×nMatrizen A ist E m ·A = A = A·E n  . Produkt einer Zeile mit einer Spalte Produkt von zwei Matrizen = i i j j ∙ B  ggb/mcd/xls hb8yn7 das Produkt zweier Matrizen berechnen n-te Einheits- matrix Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv