Mathematik HTL 3, Schulbuch

205 Zusammenfassung: Integralrechnung 931 Das Eingangsportal eines Kaufhauses soll die Form einer Parabel erhalten, die an der Stelle, wo sie den Boden berührt, eine Breite von 10m besitzen soll. Eine solche Parabel erhält man als Graph der Funktion f mit f(x) = ‒ a·(x – 5)(x + 5), wobei die Zahl a so gewählt werden soll, dass die Fläche unter der Parabel genau 50m 2 beträgt. a. Berechne die Zahl a. b. Ermittle die Höhe des Parabelbogens. 932 Die Beschleunigung eines PKW t > 0 Sekunden nach dem Anfahren kann durch die Funktion a mit a(t) = 4·0,95 t beschrieben werden. Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0 s ist 0m/s. a. Ermittle eine Funktion v, die jedem Zeitpunkt t in Sekunden die Geschwindigkeit des PKW in m/s zuordnet. b. Bestimme eine Funktion s, die jedem Zeitpunkt t in Sekunden den zurückgelegten Weg des PKW in m zuordnet. c. Berechne mithilfe der Funktionen a, v und s die Beschleunigung, die Geschwindigkeit und den zurückgelegten Weg des PKW 10 Sekunden nach dem Anfahren. d. Beschreibe, wie die durchschnittliche Geschwindigkeit des PKW zwischen dem Start zum Zeitpunkt 0 und einem beliebigen Zeitpunkt t 1 berechnet werden kann. 933 Prüfe, ob die Berechnung des unbestimmten Integrals richtig ist. Wenn das nicht der Fall ist, korrigiere die Berechnung. a. :    x 2 ·cos(y) dx =   1 _ 3 x 3 ·sin(y) + c b. :    sin(x)·cos(y) dx = cos(x)·cos(y) + c 934 Welche der Funktionen F ist eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = (2x 2 + 7x – 2)·e x ? Begründe. A F(x) = (2x 2 + 7x – 2)·e x C F(x) = (4x + 7)·e x B F(x) = (2x 2 + 3x – 5)·e x D F(x) = (2x 2 + 3x – 5)·e x + 1 935 Die Diagramme stellen Graphen von periodischen Funktionen dar, die eine Spannung beschreiben. a. b. c. I. Bestimme den Gleichwert, und zeichne die Graphen des Wechselanteils und des Gleichanteils der Funktion. II. Ermittle den Gleichrichtwert und den Effektivwert dieser Spannung. 936 Ermittle, ob die Berechnung des Integrals korrekt durchgeführt wurde. Wenn das nicht der Fall ist, korrigiere die Berechnung. a. :    (2x + 3) 3 dx =   (2x + 3) 4 __ 4  + c b. :    (3x – 2) 2 dx =   (3x – 2) 3 __ 9  + c c. :    2    1 _ 2 x + 1  3 3 dx =   2    1 _ 2 x + 1  3 4 __ 8  + c B x y 50m 2 A, B B, D B, D B, C t y 0 T 2T - a a t y 0 T 2T - a a t y 0 T 2T - a a B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv