Mathematik HTL 3, Schulbuch

203 Zusammenfassung: Integralrechnung 920 Ein PKW beschleunigt von 0 km/h auf 100 km/h in 8 Sekunden. Wir nehmen dabei vereinfachend an, dass die Beschleunigung während dieser Zeitspanne konstant ist. a. Gib die Beschleunigung in m/s 2 an. b. Berechne, welchen Weg der PKW während dieser 8 Sekunden zurücklegt. 921 Entlang eines Flusses soll zum Schutz vor Hochwasser ein Damm aufgeschüttet werden. Das Profil des Querschnitts dieses Damms kann durch den Graphen der Funktion h mit h(x) =   x 4 – 18x 2 + 81 __  24  mit ‒ 3 ª x ª 3 beschrieben werden. a. Zeige, dass diese Funktion in ihren Nullstellen die Steigung 0 hat. b. Berechne die Höhe dieses Damms. c. Ermittle, wie breit dieser Damm auf seiner halben Höhe ist. d. Bestimme das maximale Gefälle dieses Damms und gib diese Steigung sowohl in Prozent als auch im Gradmaß an. e. Berechne, wie viel Kubikmeter Erdreich für den Bau dieses Damms auf einer Länge von 10 Metern benötigt werden. 922 Welche der Funktionen F ist eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) =   9 _ x _  x· 3 9 __ x 2 ? Begründe. A F(x) = 6· 6 9 _ x b F(x) =     2 _ 3 x   3 _ 2 _    1 _ 2 x 2 ·  3 _ 5 x   5 _  3 c F(x) =     1 _ 2 x ‒  1 _ 2 _  1·  2 _ 3 x ‒  1 _ 3 d F(x) = ‒ 6·  1 _  6 9 _ x 923 Der innere Rand des Querschnitts eines Glases wird im Intervall [2; 10] durch die Funktion f mit f(x) = 9 ____ 2x – 4beschrieben. Außen wird der Querschnitt dieses Glases durch die Tangente an den Graphen von f an der Stelle 10 begrenzt. Der Fuß des Glases wird im Intervall [‒5; ‒ 2] durch die quadratische Funktion g mit g(x) =   1 _  36 ·(11x 2 + 53x + 98) beschrieben. a. Ermittle die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle 10. b. Zeige, dass diese Tangente auch die Funktion g an der Stelle ‒2 berührt. c. Stelle den Querschnitt des Glases graphisch dar. d. Berechne das Füllvolumen dieses Glases. e. Berechne die Masse des leeren Glases, wenn es eine Dichte von 2,25g/cm 3 hat. 924 Berechne den Schwerpunkt der abgebildeten Menge, die von den Graphen der Funktionen f, g und h mit f(x) = 9 ___ 4 – x 2  , g(x) = ‒ 9 ______ 1 – (x + 1) 2 und h(x) = 9 ______ 1 – (x – 1) 2 begrenzt wird. 925 Bestimme mithilfe eines CAS die Länge des Graphen der Funktion f mit f(t) = 2sin(2t) über dem Intervall [0; π ]. 926 Gib drei verschiedene Stammfunktionen der Funktion f mit f(x) = cos(x) an. A, B B, D x[m] h(x)[m] B, D B, D B x y 0 - 2 -1 1 2 -1 1 2 S A B A Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv