Mathematik HTL 3, Schulbuch

201 Zusammenfassung: Integralrechnung Ist f: [a; b] ¥ R eine stetige Funktion und F eine Stammfunktion von f, dann ist :  a   b f(t) dt= F(b) – F(a) . Anstatt F(b) – F(a) wird oft auch F(t)  1 a   b geschrieben. Ist f eine stetige Funktion, dann ist die Funktion F: [a; b] ¥ R , z ¦ :  a   z f(t) dt, differenzierbar und eine Stammfunktion von f. Zu jeder stetigen Funktion f: [a; b] ¥ R gibt es eine Zahl z im Intervall [a; b] so, dass   1 _  b – a :  a   b f(t) dt= f(z) ist. Die Zahl f(z) ist der „durchschnittliche Funktionswert“ von f im Intervall [a; b]. Ist I ein Intervall in R , h: I ¥ R eine stetige Funktion und g: [a; b] ¥ R , eine differenzierbare Funktion, deren Bild in I enthalten ist und deren Ableitung stetig ist, dann ist   :  g(a)   g(b)   h(z) dz= :  a   b h(g(t))·g’(t) dt. :  a   b f(t) dt≈ (b – a)·f 2    a + b _ 2    3 :  a   b f(t) dt≈ (b – a)·  f(a) + f(b) __ 2  :  a   b f(t) dt≈   1 _ 6 ·(b – a) 4  f(a) + 4·f 2    a + b _ 2    3 + f(b)  5 :  a   b f(t) dt≈   b – a _ 6n  ·[f(a) + 4f(a 1 ) + 2f(a 2 ) + 4f(a 3 ) + 2f(a 4 ) + … + 4f(a 2n – 1 ) + f(b)] Ist g: [a; b] ¥ R eine stetige Funktion, deren Funktionswerte nicht negativ sind, dann ist der durch g gegebene Rotationskörper in R 3 der Körper, der durch den um die xAchse rotierenden Graphen von g und die auf die xAchse senkrecht stehenden Ebenen durch (a 1 0 1 0) und durch (b 1 0 1 0) begrenzt wird. Dabei betrachten wir die Ebene R 2 als Teilmenge des Raumes R 3 . Das Volumen dieses Rotationskörpers ist π · :  a   b g(t) 2 dt. Hauptsätze der Differential- und Integral- rechnung Mittelwertsatz der Integral- rechnung Substitutions- regel Rechtecksregel Trapezregel Keplersche Fassregel Simpson-Regel Rotations körper Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv