Mathematik HTL 3, Schulbuch

200 Zusammenfassung Eine differenzierbare Funktion F heißt Stammfunktion einer Funktion f, wenn f die Ableitung von F ist. Oft schreibt man :    f(t) dt für eine Stammfunktion, wobei statt t auch ein beliebiges anderes Zeichen verwendet werden kann. Die Funktion f heißt dann der Integrand und eine Stammfunktion F ein (unbestimmtes) Integral von f. Ist F eine Stammfunktion von f, dann ist auch F + c, wobei c eine konstante Funktion ist, eine Stammfunktion von f. :    t r dt= 2    1 _  r + 1  3 t r + 1 + c :    1 _ t dt= ln(t) + c :    e t dt= e t + c :    a t dt=   1 _  ln(a) a t + c :    sin(t) dt= ‒ cos(t) + c :    cos(t) dt= sin(t) + c Für integrierbare Funktionen f und g gilt: Summenregel: :    (f ± g)(t) dt= :    f(t) dt± :    g(t) dt+ c Faktorregel: :    (a·f)(t) dt= a· :    f(t) dt+ c Partielle Integration: :    (f·g’)(t) dt= :    (f·g)’(t) dt– :    (f’·g)(t) dt+ c = f·g – :    (f’·g)(t) dt+ c Ist f: [a; b] ¥ R eine stetige Funktion, dann konvergieren die Folgen ihrer Untersummen und ihrer Obersummen gegen den gleichen Grenzwert. Dieser wird mit :  a   b f(t) dt bezeichnet und heißt das bestimmte Integral von f über dem Intervall [a; b] oder kurz das Integral von f von a bis b. Wenn f stetig ist und auf dem Intervall keine negativen Funktionswerte hat, dann nennen wir :  a   b f(t) dt die Fläche der Menge zwischen dem Intervall [a; b] und dem Graphen von f. Wenn f stetig ist und auf dem Intervall keine positiven Funktionswerte hat, dann nennen wir |  :  a   b f(t) dt  | die Fläche der Menge zwischen dem Intervall [a; b] und dem Graphen von f. Für a < c < b gilt: :  a   b f(t) dt= :  a   c f(t) dt+ :  c   b f(t) dt. Stammfunktion wichtige Stamm funktionen Integrations regeln bestimmtes Integral Fläche t y 0 -1 1 b a 1 t y 0 -1 1 -1 b a Nur zu Prüfz ecken – Eigentum des Verlags öbv