Mathematik HTL 3, Schulbuch

20 1.2 Geometrische Reihen Ich lerne geometrische Reihen kennen und ich lerne zu entscheiden, ob sie konvergent sind und gegebenenfalls ihren Grenzwert zu berechnen. Julia hat zwei Blätter im Format DINA0. Diese haben eine Fläche von je 1m 2 . Eines legt sie auf den Boden, das andere faltet sie in zwei gleich große Teile und schneidet das Blatt entlang der Faltlinie auseinander. Damit erhält sie zwei Blätter mit je   1 _ 2 m 2 Fläche. Eines dieser Blätter fügt sie mit dem Blatt am Boden zusammen, das andere schneidet sie wie vorhin auseinander und erhält zwei rechteckige Blätter mit je   1 _ 4 m 2 Fläche. Eines davon fügt sie an das Blatt am Boden an, mit dem anderen wiederholt sie den ersten Vorgang und so weiter. Die Fläche der Blätter, die auf den Boden gelegt werden, wird immer kleiner: zuerst 1m 2 , dann   1 _ 2 m 2 , dann   1 _ 4 m 2 , und nach n Faltungen 2    1 _ 2   3 n m 2 . Die Fläche des am Boden zusammen gefügten Blattes wird hingegen immer größer: zuerst 1, dann 1 +   1 _ 2 m 2 , dann 1 +   1 _ 2 +   1 _ 4 m 2 , weiters 1 +   1 _ 2 +   1 _ 4  +   1 _ 8 m 2 , und nach n Faltungen 1 +   1 _ 2 +   1 _ 4 + … + 2    1 _ 2   3 n m 2 . Julia erhält so zwei Folgen: k  1,   1 _ 2 ,   1 _ 4 , …, 2    1 _ 2   3 n , …  l und k  1, 1 +   1 _ 2 , 1 +   1 _ 2 +   1 _ 4 , …, 1 +   1 _ 2 +   1 _ 4 + … + 2    1 _ 2   3 n , …  l . Im Vorjahr haben wir Reihen bereits kennengelernt. Die Reihe einer Folge f = k f n l ist die Folge k f 0 , f 0 + f 1 , f 0 + f 1 + f 2 , …, f 0 + f 1 + f 2 + … + f n , … l . Das kte Folgenglied der Reihe von k f n l ist also die Summe aller Folgenglieder von f, deren Index kleiner oder gleich k ist. Statt f 0 + f 1 + f 2 + … + f k schreiben wir mit dem Summenzeichen kürzer ;  i = 0   k f i . Wenn die Reihe der Folge k f n l konvergiert, schreiben wir für den Grenzwert der Reihe statt lim    k ¥• ;  i = 0   k f i kurz ;  i = 0   • f i . Sprich: „Summe der f i mit i von 0 bis unendlich“ Die Reihe k    ;  i = 0   n a·q i   l der geometrischen Folge k a·q n l heißt geometrische Reihe mit Anfangsglied a und Quotient q. Die zwei Folgen von Julia sind die geometrische Folge mit Anfangsglied 1 und Quotient   1 _ 2 und die zugehörige geometrische Reihe. Das Bild oben lässt vermuten, dass beide Folgen konvergieren, die erste gegen 0 und die zweite gegen 2. Wir können das aber auch genau begründen: Im Vorjahr haben wir gesehen, dass ;  i = 0   n 2    1 _ 2   3 i =   2    1 _ 2    3 n + 1 – 1 __   1 _ 2 – 1 =   1 – 2    1 _  2 3 n + 1 __ 1 –   1 _ 2 ist. ggb r9kp8z 1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 Reihe einer Folge geometrische Reihe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv