Mathematik HTL 3, Schulbuch

198 Integralrechnung Die Zahl 9 ______   1 _ T · :  0   T f(t) 2 dt  heißt Effektivwert der periodischen Funktion f. 905 Ein Mischstrom wird durch die periodische Funktion i mit i(t) = 2·sin( π t + 1) + 3 beschrieben. a. Berechne den Gleichwert, den Wechselanteil und den Gleichanteil von i. b. Berechne den Gleichrichtwert und den Effektivwert des Wechselanteils von i. a. Die Periode von i ist 2. Der Gleichwert ist   1 _ 2 :  0   2 i(t) dt=   1 _ 2 :  0   2 (2·sin( π t + 1) + 3) dt= :  0   2 sin( π t + 1) dt+ 3 = 0 + 3 = 3. Der Gleichanteil von i ist die konstante Funktion 3, der Wechselanteil von i ist die Funktion f mit f(t) = i(t) – 3 = 2·sin( π t + 1). b. Der Gleichrichtwert ist   1 _ 2 :  0   2 † f(t) † dt=   1 _ 2 :  0   2 † 2·sin( π t + 1) † dt= :  0   2 † sin( π t + 1) † dt= :  0   2 † sin( π t) † dt= 2 :  0   1 sin( π t) dt=   4 _ π . Der Effektivwert von f ist 9 _____   1 _ 2 :  0   2 f(t) 2 dt = 9 ___________   1 _ 2 :  0   2 (2·sin( π t + 1)) 2 dt= 9 _________ 2 :  0   2 sin( π t + 1) 2 dt = 9 _______ 2 :  0   2 sin( π t) 2 dt  . Aus der Summenregel für die Cosinusfunktion folgt sin( π t) 2 =   1 _ 2 (1 – cos(2 π t)), daher ist 9 _______ 2 :  0   2 sin( π t) 2 dt = 9 _________ :  0   2 (1 – cos(2 π t)) dt = 9 ________ t – 2    1 _  2 π   3 sin(2 π t)   1 0   2 = 9 _ 2. 906 Die Diagramme stellen Graphen von periodischen Funktionen dar, die eine Spannung beschreiben. a. b. c. I. Bestimme den Gleichwert und zeichne die Graphen des Wechselanteils und des Gleichanteils der Funktion. II. Ermittle den Gleichrichtwert und den Effektivwert dieser Spannung. 907 Mit f bezeichnen wir die Treppenfunktion mit Periode 10, die jeder Zahl a im Intervall [0; 10] die größte ganze Zahl, die kleiner als a ist, zuordnet. a. Zeichne den Graphen dieser Funktion und bestimme ihren Gleichwert, Wechselanteil und Gleichanteil. b. Bestimme den Gleichwert und den Effektivwert des Gleichanteils dieser Funktion. Effektivwert B den Gleichwert, Wechselanteil und Gleichanteil berechnen B, C t y 0 T 2T - a a t y 0 T 2T - a a t y 0 T 2T - a a B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv