Mathematik HTL 3, Schulbuch

197 3.5 Anwendungen der Integralrechnung 904 In der Datei Brucharbeit wurden die Daten einer Bruchbiegeprüfung aufgezeichnet. Die Datei steht auf Mathematik HTLOnline zur Verfügung. a. Erstelle mithilfe eines geeigneten Programms ein Diagramm, das den Verlauf der Prüfung graphisch darstellt. b. Finde geeignete Punkte und Funktionen, um den Verlauf der Prüfung gut zu nähern. c. Stelle die Funktionen mit dem tatsächlichen Verlauf der Prüfung in einem Diagramm gegenüber und beurteile, wie gut die Funktionen den Verlauf nähern. d. Berechne mithilfe der Funktionen aus Aufgabe b. näherungsweise die Brucharbeit. Gleichrichtwert, Gleichanteil und Effektivwert* Viele Vorgänge in der Technik werden durch periodische Funktionen beschrieben, zum Beispiel Stromstärke und Spannung eines Wechselstroms. Eine Funktion f von R nach R heißt T-periodisch (oder periodisch mit Periode T > 0), wenn für alle reellen Zahlen t gilt: f(t + T) = f(t). Wir nehmen an, dass f auf dem Intervall [0; T] integrierbar ist. Für alle Zahlen a ist dann ​ :  a ​  a + T ​ f(t) dt​= ​ :  0 ​  T ​ f(t) dt​. Die Zahl ​  1 _ T ​ ​ :  0 ​  T ​ f(t) dt​ heißt Gleichwert oder Mittelwert der periodischen Funktion f. Die konstante Funktion c, die jeder Zahl den Gleichwert der periodischen Funktion f zuordnet, nennen wir den Gleichanteil von f. Es ist f = (f – c) + c. Wir nennen f – c den Wechselanteil von f. Der Gleichwert von f – c ist 0. Der Gleichwert ​  1 _ T ​ ​ :  0 ​  T ​ † f(t) † dt​ der periodischen Funktion † f † mit † f † (t) = † f(t) † heißt Gleichrichtwert der periodischen Funktion f. Wir betrachten die Funktion f, die jeder Zahl t die Stromstärke zu diesem Zeitpunkt zuordnet. Ist der Gleichwert von f gleich 0, spricht man von einem Wechselstrom . Ist f konstant, spricht man von einem Gleichstrom . In den anderen Fällen spricht man von einem Mischstrom . Diesen können wir in den Wechselund den Gleichanteil der Stromstärke zerlegen. Jeder Strom ist daher die Summe (Überlagerung) eines Gleichund eines Wechselstroms. Der Gleichrichtwert eines Wechselstromes gibt an, welcher Gleichstrom dieselbe Ladungsmenge transportiert wie im zeitlichen Mittel ein „gleichgerichteter” Wechselstrom. Die an einem Ohmschen Widerstand R erzeugte Leistung eines Gleichstromes I ist I 2 ·R. Wenn ein Wechselstrom i über eine Periode gemittelt dieselbe Leistung erzeugt, dann muss ​  1 _ T ​·​ :  0 ​  T ​ i(t) 2 ·Rdt​= I 2 ·R sein, also I = ​ 9 ______  ​  1 _ T ​·​ :  0 ​  T ​ i(t) 2  dt​ ​. * Cluster 2 A, B  Material 39au2n T-periodisch Gleichwert t y 0 1 2 1 c f f – c Wechselanteil Gleichanteil Gleichrichtwert Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv