Mathematik HTL 3, Schulbuch

195 3.5 Anwendungen der Integralrechnung Arbeitsintegrale* Wenn längs einer Strecke, die wir durch das Intervall [0; s] beschreiben, eine konstante Kraft F in Newton wirkt, so ist die verrichtete Arbeit W in Joule das Produkt aus Kraft und Weglänge s in Meter, also W = F·s. Ist die Kraft aber nicht an jeder Stelle des Weges konstant, so ist die Kraft eine Funktion, die jeder Zahl x in [0; s] die an dieser Stelle wirkende Kraft von F(x) Newton zuordnet. Dann ist W = ​ :  0 ​  s ​ F(x) dx​ die entlang der Strecke verrichtete Arbeit . 896 Berechne, welche Arbeit verrichtet wird, wenn eine Spiralfeder aus der Gleichgewichtslage um s Meter in die Länge gezogen wird. Die Federkraft F ist durch F(x) = D·x Newton gegeben, dabei ist D in N/m die Federkonstante. Die verrichtete Arbeit in Joule ist W = ​ :  0 ​  s ​ F(x) dx​= ​ ​ ​ :  0 ​  s ​ D·x dx​= D·​  1 _ 2 ​x 2 1 ​ 0 ​  s ​= D·​  s 2 _  2 ​ . 897 Ein Gewicht dehnt eine Feder mit der Federkonstante D = 120N/m um 5 cm. Berechne die Arbeit, die dabei verrichtet wird. 898 Ein Gewicht zieht mit einer Kraft von 36N am unteren Ende einer Feder. Die Feder wird dadurch 8 cm ausgedehnt. Ermittle die Federkonstante D. 899 Für eine Feder, die durch ein Gewicht gedehnt wird, wurde ein KraftWegDiagramm aufgezeichnet. Berechne die bei der Dehnung entstandene Arbeit in Joule. a. b. 900 Beim Bogenschießen muss der Bogen zunächst gespannt werden. Zeichnet man dabei die Spannhöhe und die dafür benötigte Kraft in einem Diagramm auf, so erhält man typische Diagramme für Lang, Recurveund Compoundbögen. a. Interpretiere die im Diagramm angegebene Formel für die im Bogen gespeicherte Energie E für einen Langbogen. b. Finde eine Formel für die Berechnung der im Bogen gespeicherten Energie bei einem Recurvebogen. c. Dokumentiere die Vorgehensweise, wenn die in einem Compoundbogen gespeicherte Energie berechnet werden soll. 901 Arbeitet zu zweit und recherchiert im Internet zum Thema KraftWegDiagramme. Fasst zusammen, in welchen Zusammenhängen KraftWeg Diagramme benützt werden, und welches Aussehen sie haben. Präsentiert das Ergebnis der Klasse. * Cluster 1 Arbeit B Arbeit berechnen B B B, C s[cm] F[N] 2 0 4 6 10 8 0 5 10 15 20 s[cm] F[N] 2 0 4 6 10 8 0 5 10 15 20 A, C s s max F F max Zugkraft-Diagramm Compound Recurve Langbogen E = . F(s) ds E max = 1/2 F max s max C, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv