Mathematik HTL 3, Schulbuch

194 Integralrechnung 887 Berechne den Schwerpunkt der Menge zwischen den Graphen der auf [0; 1] definierten Funktionen f und g mit f(t) = t 2 + 1 und g(t) = cos(t). Der Schwerpunkt der Menge zwischen den Graphen f und g ist S =   1 _  :  0   1 (f – g)(t)dt · 2  :  0   1 t·(f – g)(t) dt  1    1 _ 2 · :  a   b f(t) 2 – g(t) 2 dt    3 = =   1 _  :  0   1 (t 2 + 1 – cos(t))dt · 2  :  0   1 t·(t 2 + 1 – cos(t)) dt  1    1 _ 2 :  0   1 ((t 2 + 1) 2 – (cos(t)) 2 ) dt    3 . Wir berechnen die Integrale mithilfe eines CAS und erhalten: :  0   1 (t 2 + 1 – cos(t)) dt≈ 0,49. :  0   1 t·(t 2 + 1 – cos(t)) dt≈ 0,37.   1 _ 2 :  0   1 ((t 2 + 1) – (cos(t) 2 )) dt= 0,57 Der Schwerpunkt dieser Menge ist also S = 2    0,37 _ 0,49   1    0,57 _ 0,49     3 ≈ (0,76 1 1,16). 888 Berechne I. direkt, II. mit Integralrechnung die Fläche und den Schwerpunkt der Menge zwischen dem Intervall I und dem Graphen der konstanten Funktion f: I ¥ R , t ¦ 2. a. I = [0; 3] b. I = [0; b] c. I = [‒ 2; 3] d. I = [a; b] 889 Berechne I. direkt, II. mit Integralrechnung die Fläche und den Schwerpunkt der Menge zwischen dem Intervall I und dem Graphen der identischen Funktion: I ¥ R , t ¦ t. a. I = [0; 1] b. I = [0; b] c. I = [‒ 3; 4] d. I = [a; b] 890 Berechne die Fläche und den Schwerpunkt der Menge zwischen dem Intervall [0; 10] und dem Graphen der Funktion f mit f(x) = 0,05x 3 – x 2 + 5x. 891 Berechne den Schwerpunkt der Menge zwischen den Graphen der Funktionen f und h mit h(t) = 2t – 1 über dem Intervall [1; 3]. Skizziere diese Menge und zeichne den berechneten Schwerpunkt ein. a. f(t) =   1 _ 2 b. f(t) = ‒   1 _ 2 t +   3 _ 2 c. f(t) =   5 _ 2 t –   5 _ 2 d. f(t) = 2t – 2 892 Zeige: Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schwerpunkt seiner drei Eckpunkte. Nimm dazu an, dass eine Seite des Dreiecks auf der xAchse liegt. 893 Wie konstruiert man den Schwerpunkt eines Intervalls, wie den Schwerpunkt eines Dreiecks? Überlegt, wie man daraus ein Verfahren zur Konstruktion des Schwerpunktes eines Vierecks, Fünfecks und Sechsecks (diese müssen nicht regelmäßig sein!) erhält. 894 Berechne den Schwerpunkt der Menge, die von der xAchse, dem Graphen der Funktion f mit f(t) = 9 _ tund der Geraden parallel zur yAchse durch den Punkt (1 1 0) eingeschlossen wird. Zeichne zuerst diese Menge. 895 Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x) = 0,5x 2 – 7x + 30 und g(x) = x 2 – 14x + 50 schließen eine Menge ein. Berechne die Fläche dieser Menge sowie die Koordinaten ihres Schwerpunktes. Stelle die Menge graphisch dar und markiere in der Zeichnung den Schwerpunkt. B ggb/mcd/tns ty3y94 den Schwerpunkt einer Menge, die von Funktions graphen begrenzt ist, berechnen t y 0 1 1 2 S f g B B B B D A B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv