Mathematik HTL 3, Schulbuch

193 3.5 Anwendungen der Integralrechnung 886 Berechne den Schwerpunkt der Menge zwischen dem Intervall [0; 1] und dem Graphen der Funktion f mit f(t) = t 2 + 1. Die Fläche dieser Menge ist A f = :  0   1 f(t) dt= :  0   1 (t 2 + 1) dt=   1 _ 3 t 3 + t  1 0   1 =   1 _ 3 + 1 =   4 _ 3 und ihr Schwerpunkt ist S f =   1 _  A f · 2  :  0   1 t·(t 2 + 1) dt  1    1 _ 2 · :  0   1 (t 2 + 1) 2 dt    3 = 2      9 _  16   1    7 _  10   3 . Der Schwerpunkt der Menge M = {(2 1 3), (2 1 1), (4 1 1), (3 1 2), (3 1 3)} ist S =   1 _ 5 ((2 1 3) + (2 1 1) + (4 1 1) + (3 1 2) + (3 1 3)) = 2      14 _  5    1  2  3 . Man kann diesen Schwerpunkt der Menge M auch erhalten, indem man zuerst die Schwerpunkte S 1 von M 1 = {(2 1 3), (2 1 1), (4 1 1)} und S 2 von M 2 = {(3 1 2), (3 1 3)} berechnet: S 1 =   1 _ 3 ·((2 1 3) + (2 1 1) + (4 1 1)) = 2      8 _ 3   1    5 _  3   3 und S 2 =   1 _ 2 ·((3 1 2), (3 1 3)) = 2  3  1    5 _ 2     3 . Dann ist S =   3 _ 5 ·S 1 +   2 _ 5 ·S 2 , dabei sind die Zahlen 2, 3 und 5 die Anzahlen der Elemente der Mengen M 1 , M 2 und M. Wenn wir allgemein die Menge M aus n Punkten in zwei Teilmengen M 1 und M 2 mit n 1 und n 2 Elementen so zerlegen, dass diese zwei Mengen keinen gemeinsamen Punkt enthalten, dann ist n 1 + n 2 = n und es ist S =   n 1 _  n ·S 1 +   n 2 _ n  ·S 2 , wobei S, S 1 und S 2 die Schwerpunkte der Mengen M, M 1 und M 2 sind. Der Schwerpunkt S 1 der Differenzmenge M 1 = M\M 2 ist dann S 1 =   n _  n 1 S –   n 2 _  n 1 ·S 2 . Wir übertragen dieses Ergebnis auf gewisse unendliche Mengen: Ist g: [a; b] ¥ R eine weitere stetige Funktion so, dass die Funktionswerte von g und von f – g alle nicht negativ sind, dann ist die Fläche der Menge zwischen den Graphen der Funktionen f und g die Differenz der Fläche A f der Menge zwischen dem Intervall [a; b] und dem Graphen von f und der Fläche A g zwischen dem Intervall [a; b] und dem Graphen von g. Sie ist gleich der Fläche A f – g der Menge zwischen dem Intervall [a; b] und dem Graphen von f – g: A f – A g = A f – g Ist S f der Schwerpunkt der Menge zwischen dem Graphen von f und dem Intervall [a; b] und S g der Schwerpunkt der Menge zwischen dem Graphen von g und dem Intervall [a; b], dann ist P =   A f _  A f – g ·S f –   A g _  A f – g ·S g der Schwerpunkt der Menge zwischen den Graphen von f und g . Es ist P =   1 _  :  a   b (f – g)(t)dt · 2  :  a   b t·(f – g)(t) dt  1    1 _ 2 · :  a   b (f(t) 2 – g(t) 2 ) dt    3 B den Schwerpunkt berechnen ggb/mcd/tns 4et8ru t y 0 1 1 2 S f f x y 0 1 2 3 4 1 2 3 B C S 1 S 2 S D E A Schwerpunkt der Menge zwischen zwei Graphen t y 0 1 2 3 1 2 3 P f g S f S g Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv