Mathematik HTL 3, Schulbuch

192 Integralrechnung Es ist cos(t) = cos 2    t _ 2 +   t _ 2   3 = cos 2    t _ 2   3 2 – sin 2    t _ 2   3 2 = 1 – sin 2    t _ 2   3 2 – sin 2    t _ 2   3 2 = 1 – 2sin 2    t _ 2   3 2 , also 2 – 2cos(t) = 4sin 2    t _ 2   3 2 und 9 ______ 2 – 2cos(t)= 2sin 2    t _ 2   3 . Wegen (‒ 4)·cos’ 2    t _ 2   3 = (‒ 4)· 2 ‒   1 _ 2   3 sin 2    t _ 2   3 = 2·sin 2    t _ 2   3 ist :  0   2 π 9 ______ 2 – 2cos(t)dt= :  0   2 π 2·sin 2    t _ 2   3 dt= (‒ 4)cos( π ) – (‒ 4)cos(0) = 4 + 4 = 8. Die Länge des Graphen der Zykloide ist 8. Wer hätte vermutet, dass diese Länge eine ganze Zahl ist? 882 Berechne die Länge des Graphen der Sinusfunktion über dem Intervall [0; 2 π ]. 883 Recherchiert, was eine Ellipse ist und wie ihr Umfang berechnet werden kann. Versucht mithilfe eines CAS den Umfang der Ellipse mit der Gleichung 4x 2 + 9y 2 = 36 als Länge einer Kurve zu berechnen. 884 Berechne die Länge der Kurve f: [0; 4] ¥ R 2 , t ¦ (t 2 1 t 3 ). 885 Zeichne das Bild der Kurve f: [0; 2 π ] ¥ R 2 , t ¦ (2cos(t) + cos(2t) + 1 1 2sin(t) + sin(2t)) und berechne ihre Länge. Schwerpunkte* Das arithmetische Mittel von n Zahlen a 1 , …, a n ist die Zahl   1 _ n · ;  i = 1   n a i . Zum Beispiel ist   1 _ 5 (2 + 2 + 4 + 1 + 3) =   12 _ 5  das arithmetische Mittel der Zahlen 2, 2, 4, 1, 3. Bildet man von Punkten P 1 = (a 1 1 b 1 ), …, P n = (a n 1 b n ) in R 2 komponentenweise das arithmetische Mittel, dann erhält man den Schwerpunkt   1 _ n · ;  i = 1   n P i = 2    1 _ n · ;  i = 1   n a i   1    1 _ n · ;  i = 1   n b i   3 der Menge M = {P 1 , …, P n }. Wir erweitern den Begriff Schwerpunkt auf gewisse unendliche Mengen: Wir betrachten eine stetige Funktion f: [a; b] ¥ R , deren Funktionswerte alle nicht negativ sind. Der Schwerpunkt der Menge M zwischen dem Intervall [a; b] und dem Graphen einer stetigen Funktion f: [a; b] ¥ R ist der Punkt S f =   1 _  A f · 2  :  a   b t·f(t) dt  1    1 _ 2 · :  a   b f(t) 2 dt    3 , dabei ist A f = :  a   b f(t) dtdie Fläche der Menge M. * Cluster 3 B A, B B B ggb 7zq348 Schwerpunkt t y f a b S f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv