Mathematik HTL 3, Schulbuch

191 3.5 Anwendungen der Integralrechnung 875 Berechne die Länge des Graphen von cosh: [0; 1] ¥ R , t ¦ cosh(t) =   1 _ 2 (e t + e ‒t ). Für alle t in [0; 1] ist 1 + cosh’(t) 2 = 1 + 2    1 _ 2 (e t – e ‒t )  3 2 = 1 +   1 _  4 (e 2t – 2 + e ‒2t ) =   1 _ 4 e 2t +   1 _ 2 +   1 _ 4 e ‒2t = =   1 _ 4 (e 2t + 2 + e ‒2t ) = cosh(t) 2 . Daher ist die Länge des Graphen dieser Funktion :  0   1 9 _____ 1 + q’(t) 2 = :  0   1 9 _____ cosh(t) 2 = :  0   1 cosh(t) dt=   1 _ 2 :  0   1 (e t + e ‒t ) dt= 1 _ 2 (e t – e ‒t )  1 0   1 =   1 _ 2 (e – e ‒1 ) ≈ 1,175. 876 Berechne die Länge des Graphen. a. f: [‒1; 1] ¥ R , t ¦ 2t + 1 b. f: [0; 5] ¥ R , t ¦ ‒ t + 2. 877 Bestimme die Länge des Graphen von sinh: [‒ 2; 2] ¥ R , t ¦ sinh(t) =   1 _ 2 (e t – e ‒t ). 878 Eine Stromleitung ist zwischen zwei gleich hohen Masten, die 300m voneinander entfernt sind, montiert. In der Mitte zwischen den Masten hängt die Stromleitung 12m durch. a. Stelle den Verlauf der Stromleitung als Graph einer quadratischen Funktion dar. Begründe. b. Berechne, wie lang die Stromleitung ist. 879 Eine Bogenbrücke überspannt ein 75m breites Tal. Die Auflager der Brücke haben einen Höhenunterschied von 5m. Der Brückenbogen ist parabelförmig und liegt in der Mitte des Tals 25m über dem niedrigeren Auflager. a. Stelle den Brückenbogen als Graph einer quadratischen Funktion dar. b. Gib an, um wie viel Prozent der Brückenbogen länger ist, als die geradlinig verlaufende Fahrbahn. 880 In einem 5m breiten Wohnraum wurde ein VollholzEichenparkettboden fehlerhaft und ohne jegliche Dehnungsoder Randfugen verlegt. Seit der Verlegung hat sich die Luftfeuchtigkeit im Raum und damit auch die Holzfeuchte um insgesamt 3% erhöht. Wenn die Zimmerwände den durch den Quelldruck des Bodens entstehenden Kräften standhalten, wie weit würde sich der Parkettboden mittig vom darunter liegenden Estrich abheben? Geht wie folgt vor: a. Eichenholz quillt bei 3% Feuchteänderung im Mittel ca. 0,85%. Berechnet, wie viel länger der Holzboden dadurch wird. b. Wie hebt sich der Boden dann ab, wenn die Wände standhalten? Findet eine geeignete Funktion, um das Verhalten des Bodens zu beschreiben. c. Berechnet nun mithilfe eines CAS, wie weit sich der Boden in etwa abhebt. d. Diskutiert euer Ergebnis und recherchiert, was man bei der Verlegung von Holzböden beachten sollte. 881 Die Zykloide f: [0; 2 π ] ¥ R 2 , t ¦ (t – sin(t) 1 1 – cos(t)) beschreibt die Bahn eines Punktes auf einem Kreis mit Radius 1, der, beginnend im Punkt (0 1 0), auf der xAchse abrollt. Berechne die Länge dieser Kurve über dem Intervall [0; 2 π ]. Die Ableitungen der Funktionen g und h mit g(t) = t – sin(t) und h(t) = 1 – cos(t) sind g’ und h’ mit g’(t) = 1 – cos(t) und h’(t) = sin(t). Daher ist :  0   2 π 9 ___________ (1 – cos(t)) 2 + sin(t) 2 dt= :  0   2 π 9 ______ 2 – 2cos(t)dt die Länge des Graphen der Zykloide. B ggb/mcd/tns wc5hm6 die Länge eines Graphen berechnen B B A, B, D A, B A, B, C B ggb/mcd/tns pp47ys die Länge einer Zykloide berechnen x y 0 1 2 7 6 5 4 3 2 1 -1 T M S’ 2 π Nur zu Prüfzwecken – Eigentum de Verlags öbv