Mathematik HTL 3, Schulbuch

190 Integralrechnung Länge von Kurven* Bewegt sich ein Teilchen in der Ebene (die wir nach Wahl eines Koordinatensystems als R 2 auffassen), dann können wir jedem Zeitpunkt t den Ort (g(t) 1 h(t)) des Teilchens zuordnen. Wir beobachten die Bewegung des Teilchens vom Zeitpunkt a bis zum Zeitpunkt b. Diese Situation beschreiben wir durch die Funktion vom Intervall [a; b] nach R 2 , die jeder Zahl t das Zahlenpaar (g(t) 1 h(t)) zuordnet. Welchen Weg legt das Teilchen zwischen den Zeitpunkten a und b zurück? Wir unterteilen das Intervall [a; b] in die n Intervalle 4 a; a +   b – a _ n    5 , 4 a +   b – a _ n  ; a +   2(b – a) __ n    5 , …, 4 a +   (n – 1)·(b – a) __ n  ; b  5 der Länge   b – a _ n  und schreiben a i für a +   i(b – a) _  n  , 0 ª i ª n. Dann gilt für alle i: a i + 1 – a i =   b – a _ n  . Der zurückgelegte Weg ist dann ungefähr die Summe der Abstände zwischen (g(a i ) 1 h(a i )) und (g(a i + 1 ) 1 h(a i + 1 )), 0 ª i < n, also ;  i = 0   n – 1 ||(g(a i + 1 ) 1 h(a i + 1 )) – (g(a i ), h(a i ))||= ;  i = 0   n – 1 9 __________________ (g(a i + 1 ) – g(a i )) 2 + (h(a i + 1 ) – h(a i )) 2 . Da (a i + 1 – a i ) =   b – a _ n  ist, ist ;  i = 0   n – 1   b – a _ n  · 9 ______________   (g(a i + 1 ) – g(a i )) 2 ___ (a i + 1 – a i ) 2 +   (h(a i + 1 ) – h(a i )) 2 ___ (a i + 1 – a i ) 2 = S(n). Wenn n größer wird, wird der Abstand zwischen a i + 1 und a i immer kleiner. Die Quotienten   g(a i + 1 ) – g(a i ) __ a i + 1 – a i und   h(a i + 1 ) – h(a i ) __ a i + 1 – a i nähern sich dann den Ableitungen g’(a i + 1 ) und h’(a i + 1 ) von g und h an der Stelle a i + 1 . Man kann zeigen, dass der Grenzwert (für n ¥ •) der Folge k S(n) l gleich :  a   b 9 _______ g’(t) 2 + h’(t) 2 dt ist. Diese Zahl betrachten wir als Länge des zurückgelegten Weges. Eine stetige Funktion f von R oder einem Intervall [a; b] nach R 2 heißt Kurve in R 2 . Für alle t im Definitionsbereich von f schreiben wir g(t) für die erste und h(t) für die zweite Komponente von f(t). Die Länge der Kurve oder Länge des Bildes der Kurve ist die Zahl :  a   b 9 _______ g’(t) 2 + h’(t) 2 dt . Ist h: [a; b] ¥ R eine stetige Funktion, dann ist das Bild der stetigen Funktion f: [a; b] ¥ R 2 , t ¦ (t, h(t)) der Graph von q über dem Intervall [a; b]. Die Länge des Graphen von q ist daher (weil die Ableitung von der identischen Funktion [a; b] ¥ R , t ¦ t, die konstante Funktion 1 ist) :  a   b 9 _____ 1 + h’(t) 2 . 874 Berechne mithilfe der Integralrechnung den Umfang eines Kreises mit Radius r. Das Bild der Funktion f: [0; 2 π ] ¥ R 2 , t ¦ (r·cos(t) 1 r·sin(t)) ist ein Kreis mit Radius r. Der Umfang dieses Kreises ist r· :  0   2 π 9 _________ cos’(t) 2 + sin’(t) 2 dt = r· :  0   2 π 9 ________ sin(t) 2 + cos(t) 2 dt= r· :  0   2 π 1dt= r· t  1 0   2 π = 2r π . * Cluster 1 und 4 t y (g (a) 1 h (a) ) (g (b) 1 h (b) ) (g (t) 1 h (t) ) Kurve Länge einer Kurve Länge eines Graphen B den Umfang eines Kreises berechnen ggb/mcd/tns kx98ts Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv