Mathematik HTL 3, Schulbuch

19 1.1 Grenzwerte von Folgen 49 Wählt eine Zahl c > 0. Betrachtet nun die Folge a mit a 1 = 9 _ c, a 2 = 9 ___ c + 9 c, a 3 = 9 ______ c + 9 ___ c + 9 cusw. Es gilt also a n + 1 = 9 ___ c + a n . a. Berechnet mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms die ersten 20 Glieder der Folge. b. Stellt den Graphen der Folge dar. c. Konvergiert die Folge? Stellt gemeinsam eine Vermutung auf und versucht diese zu beweisen. d. Hängt die Konvergenz von der Wahl der Zahl c ab? Diskutiert darüber und dokumentiert eure Ergebnisse. 50 Berechne mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms die ersten 20 Glieder der rekursiv defi nierten Folge a n + 1 =   1 _  1 + a n , wobei a 0 frei gewählt werden darf. a. Dokumentiere deine Beobachtungen für unterschiedliche Startwerte a 0 . b. Berechne den Grenzwert dieser Folge für a 0 ≠ ‒1. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kenne den Begriff des Grenzwertes einer Folge und kann Beispiele für konvergente und divergente Folgen angeben. 51 Welche der Folgen sind konvergent? Begründe. A k    1 _ 4 ·2 n l B k  2 + 2    1 _ 3   3 n   l C k  n +   1 _  n 2 l 52 Ab welchem Index m ist der Abstand aller Glieder f n der Folge mit n º m zum Grenzwert c kleiner als ε ? a. f n =   1 _  3 n ; ε = 0,001; c = 0 b. f n =   3n – 18 _ n  ; ε =   1 _  500 ; c = 3 c. f n =   5n 2 – 4n + 7 __ 2n 2 – 9 ; ε = 0,01; c = 2,5 53 Gib eine konvergente alternierende Folge und eine divergente alternierende Folge an. 54 Gib eine Folge mit dem Grenzwert 5 an, die außerdem die folgenden Bedingungen erfüllt. a. Die Folge ist streng monoton fallend. b. Die Folge ist streng monoton wachsend mit dem Anfangsglied 0. c. Die Folge hat das Anfangsglied 6 und die Folgenglieder sind abwechselnd größer und kleiner als 5. Ich kann mein Wissen über das Rechnen mit Folgen nützen, um Grenzwerte von gewissen Folgen zu berechnen. 55 Begründe, warum die Folge   2n 2 – 4n + 1 __ 10n + 6  divergent ist. 56 Überprüfe, ob die Folge konvergent oder divergent ist und berechne gegebenenfalls den Grenzwert. a. k    n 2 – n + 4 __  n 3 + n 2 l b. k    4n 2 – n __  6n 2 – n + 5   l c. k    n 2 – 1 _  n + 1   l d. k    18n 3 + 7n __  5n 4 + n l 57 Zeige, dass 4 9 _ pder Grenzwert der durch a 0 = 1 und a n + 1 =   1 _ 4  · 2  3a n +   p _  a n 3   3 rekursiv definierten Folge ist. Berechne anschließend die ersten zehn Glieder dieser Folge für p = 81. Nimm dazu an, dass diese Folge konvergiert. B, C, D B, C B, D B A A D B B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv