Mathematik HTL 3, Schulbuch

189 3.5 Anwendungen der Integralrechnung 867 a. Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Menge zwischen der xAchse und dem Graphen von g: 4 0;   π _ 2   5 ¥ R , t ¦ sin(t) um die yAchse rotiert. b. Ermittle das Volumen des Rotationskörpers, der durch die Rotation des Graphen von g um die yAchse entsteht. c. Erläutere, warum die Summe der in Aufgabe a. und in Aufgabe b. berechneten Volumina das Volumen des Zylinders mit Radius   π _ 2 und Höhe 1, also   π 3 _ 4  , sein muss. 868 a. Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Menge zwischen der x-Achse und dem Graphen von g: [2; 4] ¥ R , t ¦   1 _ t um die yAchse rotiert. b. Ermittle das Volumen des Rotationskörpers, der durch die Rotation des Graphen von g um die yAchse entsteht. 869 Der Graph der Funktion f mit f(t) = 9 _ tund der linearen Funktion g mit g(t) =   1 _ 3 t schließen eine Menge ein, die a. um die xAchse bzw. b. um die yAchse rotiert. Ermittle das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. 870 Die Fläche, die zwischen der Parabel mit der Gleichung y =   1 _ 4 x 2 + 4 und der Geraden mit der Gleichung y =   3 _ 2 x + 4 liegt, rotiert a. um die xAchse b. um die yAchse. Fertige eine Skizze an und berechne das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. 871 Überlege gemeinsam mit deiner Banknachbarin oder deinem Banknachbarn: Wir betrachten eine stetige streng monoton wachsende Funktion g: [a; b] ¥ R mit a > 0, deren Funktionswerte nicht negativ sind. Wir bezeichnen das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Menge zwischen der xAchse und dem Graphen der Funktion g um die yAchse rotiert, mit V 1 . Mit V 2 bezeichnen wir das Volumen des Rotationskörpers, der durch die Rotation des Graphen von g um die yAchse entsteht. Schließlich bezeichnen wir mit V 3 das Volumen des Drehzylinders, der durch die Rotation des Rechtecks mit den Eckpunkten (0 1 0), (a 1 0), (a 1 g(a)) und (0 1 g(a)) um die yAchse entsteht. a. Zeichnet den Graphen einer streng monoton wachsenden Funktion g, deren Funktionswerte nicht negativ sind. Skizziert dann die drei genannten Rotationskörper. b. Zeigt, dass diese drei Rotationskörper zusammen den Drehzylinder bilden, der durch die Rotation des Rechtecks mit den Eckpunkten (0 1 0), (b 1 0), (b 1 g(b)) und (0 1 g(b)) um die yAchse entsteht. Zeigt, dass π b 2 ·g(b) das Volumen dieses Rotationskörpers ist. c. Folgert aus Aufgabe b. , dass π b 2 ·g(b) = V 1 + V 2 + V 3 ist. Zeigt damit, dass V 2 = π b 2 ·g(b) – π a 2 ·g(a) – 2 π · :  a   b t·g(t) dtist. d. Zeigt durch partielle Integration, dass π · :  a   b t 2 ·g’(t) dt= π b 2 ·g(b) – π a 2 ·g(a) – 2 π · :  a   b t·g(t) dtist. e. Folgert aus Aufgabe c. und d. (ohne Verwendung der Umkehrfunktion von g), dass V 2 = π · :  a   b t 2 ·g’(t) dtist. 872 Die Menge zwischen den Graphen der Funktionen f mit f(x) =   1 _ 4 x 2 und g mit g(x) = x –   1 _ 4 x 2 rotiert a. um die xAchse, b. um die yAchse. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers. 873 Die Menge zwischen den Graphen der Funktionen f mit f(x) =   1 _ 2 x 2 und g mit g(x) = 2x –   1 _ 2 x 2 rotiert a. um die xAchse, b. um die yAchse. Ermittle das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. B, D B B B A, D B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv