Mathematik HTL 3, Schulbuch

187 3.5 Anwendungen der Integralrechnung 864 Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die schraffierte Menge um die x-Achse rotiert. Bestimme dazu zuerst die quadratischen oder linearen Funktionen. a. c. e. b. d. f. Volumen bei Rotation um die y-Achse* Wir betrachten jetzt eine stetige Funktion g: [a; b] ¥ R mit a º 0, deren Funktionswerte nicht negativ sind. Durch die Rotation der Menge zwischen dem Intervall [a; b] und dem Graphen von g um die yAchse erhalten wir einen Rotations­ körper. Wir berechnen nun sein Volumen. Wir können den Rotationskörper näherungsweise als Vereinigung von „dünnen” Hohlzylindern mit Höhe g(t i ) und Außenradius t i betrachten, dabei ist a = t 0 < t 1 < … < t n = b. Das Volumen eines solchen Hohlzylinders erhält man annähernd dadurch, dass man seine Mantelfläche 2r π ·h = 2t i π ·g(t i ) mit der Dicke ​  1 _ n ​multipliziert. Das Volumen dieses Rotations­ körpers ist dann der Grenzwert (für n ¥ • ) von Summen der Form ​ ;  i = 1 ​  n ​ (2t i π )g(t i ) ​  1 _ n ​ , also das Integral 2 π ·​ :  a ​  b ​ t·g(t) dt​. Wenn die Funktion g zusätzlich streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist, erhalten wir auch durch die Rotation des Graphen von g um die y-Achse einen Rotations­ körper. Er wird durch den um die yAchse rotierenden Graphen von g und die auf die yAchse senkrecht stehenden Ebenen durch (0 1 g(a) 1 0) und durch (0 1 g(b) 1 0) begrenzt. Weil g streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist, ist die Menge der Funktionswerte von g das Intervall [g(a); g(b)], wenn g streng monoton wachsend ist, und das Intervall [g(b); g(a)], wenn g streng monoton fallend ist. In beiden Fällen hat die Funktion g von [a; b] nach [g(a); g(b)] oder [g(b); g(a)] eine Umkehrfunktion g ‒1 . Der durch die Rotation des Graphen von g um die yAchse entstehende Rotationskörper hat dasselbe Volumen wie der durch g ‒1 gegebene Rotationskörper in R 3 . * Cluster 1 und 4 A, B x y 0 - 2 2 4 - 2 2 4 6 f g x y 0 - 2 -4 2 4 - 2 2 4 6 f g x y 0 -2 2 4 6 2 4 6 f g x y 0 - 2 -4 2 - 2 2 4 6 f g x y 0 -2 2 4 6 - 2 2 4 6 f g x y 0 - 2 -4 2 4 - 2 2 4 6 f g Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv