Mathematik HTL 3, Schulbuch

186 Integralrechnung 858 Die Menge, die zwischen den Graphen der quadratischen Funktion f mit f(x) = x 2 + 1 und dem Graphen der linearen Funktion g mit g(x) = x + 3 liegt, rotiert um die x-Achse. Zeichne die Graphen und berechne das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. Zur Berechnung der Schnittpunkte der Graphen von f und g lösen wir die Gleichung x 2 + 1 = x + 3 und erhalten die Punkte (‒1 1 2) und (2 1 5). Das Volumen dieses Rotationskörpers ist die Differenz π · :  ‒1   2 g(t) 2 dt– π · :  ‒1   2 f(t) 2 dt der Volumen der Rotationskörper, die durch die auf [‒1; 2] eingeschränkten Funktionen g und f gegeben sind. Wegen π · :  ‒1   2 (x + 3) 2 dt= π ·  117 _ 3  und π · :  ‒1   2 (x 2 + 1) 2 dt= π ·  244 _  15  ist das gesuchte Volumen gleich π · 2    117 _ 3  –   244 _ 15    3 = π ·  341 _ 15  ≈ 71,42. 859 Die Menge, die zwischen den Graphen der Funktion f mit f(x) = x 3 – 4x und der Funktion g mit g(x) =   1 _ 2 x 3 – 2x liegt, rotiert um die xAchse. Zeichne die Graphen und berechne das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. 860 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = ‒   1 _ 4 x 2 + 4 und die Funktion g mit g(x) = ‒   1 _ 8 x 2 + 2. a. Zeichne die Graphen der beiden Funktionen und schraffiere die Menge dazwischen. b. Berechne die Fläche der schraffierten Menge. c. Ermittle das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn diese Menge um die xAchse rotiert. 861 Gegeben sind die auf [‒1; • ) definierten Funktionen f mit f(x) = 9 ____ 4x + 4und g mit g(x) = x + 1. a. Zeichne die Graphen der beiden Funktionen und kennzeichne die Menge, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird. b. Ermittle die Fläche dieser Menge. c. Gib an, wie groß das Volumen ist, das entsteht, wenn die gekennzeichnete Menge um die xAchse rotiert. 862 Gegeben sind die auf dem Intervall [0; π ] definierten Funktionen f mit f(x) = sin 2    x _ 2   3 + 1 und g mit g(x) = cos(2x) + 1. a. Zeichne die Graphen der Funktionen und schraffiere die Menge, die von den Graphen eingeschlossen wird. b. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g im Intervall [0; π ]. c. Berechne die Fläche der schraffierten Menge. d. Ermittle das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn sich die schraffierte Menge um die xAchse dreht. 863 Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x) = 9 ____ 25 – x 2 im Intervall [‒ 4; 0] und g(x) = 25· 9 ___   1 _  x 2 + 25 im Intervall [0; 16] rotieren um die xAchse. Dadurch entsteht die nebenan abgebildete Vase. a. Berechne das Volumen dieser Vase. b. Wie viel Liter Wasser fasst diese Vase, wenn man sie bis zu 2 cm unter den Rand anfüllt? B das Volumen eines durch zwei Graphen begrenzten Rotations körpers berechnen t y 0 -1 - 2 2 1 3 1 2 3 4 5 6 (2 1 5) (-1 1 - 2) B B B B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv