Mathematik HTL 3, Schulbuch

185 3.5 Anwendungen der Integralrechnung 848 Berechne das Volumen des durch g: [0; 1] ¥ R , t ¦ t 3 + 1 gegebenen Rotationskörpers. Wegen g(t) 2 = (t 3 + 1) 2 = t 6 + 2t 3 + 1 ist die Funktion G mit G(t) = 1 _ 7 ·t 7 + 1 _ 2 ·t 4 + t eine Stammfunktion von g 2 und π · : 0 1 g(t) 2 dt = G(1) – G(0) = π · 2 23 _ 14 – 0 3 = 23 _ 14 π  ≈ 5,16. 849 Berechne das Volumen des durch g: [0; π ] ¥ R , t ¦ cos(t) gegebenen Rotationskörpers. 850 Bestimme das Volumen des durch g: [2; 4] ¥ R , t ¦ 1 _ t gegebenen Rotationskörpers. Skizziere zuerst diesen Rotationskörper. 851 Zeige mithilfe der Integralrechnung, dass das Volumen einer Kugelkappe mit Radius r und Höhe h gleich 1 _ 3 π h 2 (3r – h) ist. 852 Zeige mithilfe der Integralrechnung, dass das Volumen eines Drehkegels mit Grundfläche r 2  π und Höhe h gleich r 2  π h _ 3 ist, indem du eine Gerade rotieren lässt, die die xAchse im Punkt (h 1 0) und die yAchse im Punkt (0 1 r) schneidet. 853 Beweise mithilfe der Integralrechnung, dass das Volumen eines Drehkegelstumpfes mit Radius R der Standfläche, Radius r der Deckfläche und Höhe h gleich 1 _ 3 π ·h(R 2 + rR + r 2 ) ist. 854 Kugelausschnitt, Kugelkappe und Kugelschicht sind Teile einer Kugel. Überlegt gemeinsam, wie diese aussehen und wie man ihre Volumen berechnet. Vergleicht eure Ergebnisse mit jenen aus einer Formelsammlung und analysiert eventuelle Unterschiede. Wählt dann Radien und Höhen und berechnet für mindestens drei Beispiele die Volumina der Kugelteile. 855 Der Graph der Funktion f mit f(x) = ln(x + 4) rotiert im Intervall [‒ 3; 3] um die x-Achse. Ermittle das Volumen des so entstehenden Drehkörpers. 856 Wählt einen Drehkörper aus (zum Beispiel eine Wasserflasche, eine Dose, eine Vase etc.) und versucht Graphen einer oder mehrerer Funktionen zu finden, die durch Rotation um die xAchse den Körper gut beschreiben. Berechnet dann das Volumen und vergleicht dieses mit dem tatsächlichen Volumen des Körpers. 857 Der Querschnitt einer kleinen Blumenvase wird durch die Funktion f mit f(x) = 1 _ 15 ·(x 3 – 15x 2 + 56x + 30) im Intervall [0; 9] begrenzt. a. Stelle den Querschnitt der Vase graphisch dar. b. Berechne das Volumen dieser Vase. c. Ermittle den Durchmesser der Vase an ihrer weitesten Stelle. d. Ermittle den Durchmesser der Vase an ihrer engsten Stelle. Hinweis zu Aufgabe c. und d. : Finde die lokalen Extremwerte. B ggb/mcd/tns e4ij4n das Volumen eines Rotations- körpers berechnen y x z B B D D D A, B, C B A, B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv