Mathematik HTL 3, Schulbuch

184 3.5 Anwendungen der Integralrechnung Ich lerne Volumina von Rotationskörpern zu berechnen. Ich lerne Längen von Kurven zu berechnen. Ich lerne Schwerpunkte von Flächen zu berechnen. Ich lerne die Integralrechnung zur Berechnung von Arbeit anzuwenden. Ich lerne Gleichanteil, Gleichrichtwert und Effektivwert einer periodischen Funktion zu berechnen. Volumen von Rotationskörpern Wir beschreiben den Durchmesser einer Kugel mit Radius r durch das Intervall [‒ r; r]. Schneiden wir die Kugel senkrecht zum Durchmesser an der Stelle t, erhalten wir einen Vollkreis als Querschnitt. Nach dem Satz von Pythagoras ist das Quadrat seines Radius gleich r 2 – t 2 und die Fläche des Querschnitts an der Stelle t ist f(t) = (r 2 – t 2 )· π . Die Funktion f: [‒ r; r] ¥ R , t ¦ (r 2 – t 2 )· π ist stetig. Was bedeutet nun die Zahl : ‒r r f(t) dt? Sie ist der Grenzwert (für n ¥ •) von Summen der Form ; i = 0 n f(t i )· 2r _ n . Dabei ist f(t i )· 2r _ n das Volumen des Drehzylinders mit Höhe 2r _ n , den wir an der Stelle t i aus der Kugel „herausschneiden”. Je größer n 2 und damit je kleiner 2r _ n 3 ist, desto genauer nähert die Summe dieser Zylindervolumen das Kugelvolumen an. Der Grenzwert : ‒r r f(t) dt = : ‒r r (r 2 – t 2 )· π dt ist daher das Volumen der Kugel. Die Funktion F mit F(t) = 2 r 2 ·t – t 3 _ 3 3 · π ist eine Stammfunktion von f, also ist das Volumen der Kugel : ‒r r f(t) dt = F(r) – F(‒ r) = 2 r 3 – r 3 _ 3 3 · π – 2 ‒ r 3 + r 3 _ 3 3 · π = 4 _ 3 r 3  π . Ist g: [a; b] ¥ R eine stetige Funktion, deren Funktionswerte nicht negativ sind, dann ist der durch g gegebene Rotations- körper oder Drehkörper in R 3 der Körper, der durch den um die xAchse rotierenden Graphen von g und die auf die xAchse senkrecht stehenden Ebenen durch (a 1 0 1 0) und durch (b 1 0 1 0) begrenzt wird. Dabei betrachten wir die Ebene R 2 als Teilmenge des Raumes R 3 . Der Querschnitt dieses Rotationskörpers an jeder Stelle t im Intervall [a; b] ist ein Vollkreis mit Radius g(t) und Fläche g(t) 2 · π . Das Volumen dieses Rotationskörpers ist π · : a b g(t) 2 dt . y x z r t r 2 – t 2 x y Volumen eines Rotations- körpers (Rotation um die x-Achse) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv