Mathematik HTL 3, Schulbuch

183 3.4 Numerische Integration 841 Berechne mithilfe der SimpsonRegel das Integral :  0   8 5·e ‒  (x – 4) 2 _ 8  dx a. für n = 1, b. für n = 2. a. Die Länge eines Teilintervalls ist   b – a _ 2n  =   8 – 0 _ 2  = 4. Die Intervallgrenzen sind daher a = 0, a 1 = 4 und b = 8. Die entsprechenden Funktionswerte sind f(0) = 0,6767, f(4) = 5 und f(8) = 0,6767. Somit ist :  0   8 5·e ‒  (x – 4) 2 _ 8  dx≈   8 – 0 _ 6·1  ·[f(0) + 4f(4) + f(8)] =   8 _ 6 ·[0,6767 + 4·5 + 0,6767] = 28,4712. b. Die Länge eines Teilintervalls ist   8 – 0 _ 4  = 2. Die Intervallgrenzen sind daher a = 0, a 1 = 2, a 2 = 4, a 3 = 6 und a 4 = b = 8. Die entsprechenden Funktionswerte sind f(0) = 0,6767, f(2) = 3,0327, f(4) = 5, f(6) = 3,0327 und f(8) = 0,6767. Somit ist :  0   8 5·e ‒  (x – 4) 2 _ 8  dx≈   8 – 0 _ 6·2  ·[f(0) + 4f(2) + 2f(4) + 4f(6) + f(8)] = =   8 _  12 ·[0,6767 + 4·3,0327 + 2·5 + 4·3,0327 + 0,6767] = 23,7433. 842 Berechne mithilfe der SimpsonRegel das Integral :  ‒2   2 2 _  1 + x 2 dx a. für n = 2, b. für n = 4. 843 Ein Beschleunigungsmesser liefert Messwerte, die in der einer Tabelle zusammengefasst sind. Berechne die nach 4 Sekunden erreichte Geschwindigkeit, wenn die Anfangsgeschwindig keit v 0 = 0m/s war a. mithilfe der zusammen gesetzten Trapezregel, b. mithilfe der Simpson Regel. 844 Die Länge ø des Graphen einer Funktion g über dem Intervall [a; b] kann durch ø = :  a   b 9 _____ 1 + g’(x) 2 dx berechnet werden. Für solche Integrale ist es oft nicht möglich, eine Stammfunktion zu finden. Berechne für die angegebenen Funktionen g die Länge des Graphen über dem angegebenen Intervall mithilfe der SimpsonRegel für 2n Teilintervalle. Stelle den entsprechenden Abschnitt des Funktionsgraphen in einer Grafik dar. a. g(x) = x 2 ; [0; 2]; n = 1 c. g(x) = x 3 – x 2 – 2x; [0; 3]; n = 3 b. g(x) = x 3 – x; [‒1; 1]; n = 2 d. g(x) = 2x 2 ·e x ; [‒ 5; 0]; n = 2 Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann bestimmte Integrale mithilfe der Rechtecksregel, der Trapezregel, der Keplerschen Fassregel und der Simpson-Regel näherungsweise berechnen. 845 Ermittle näherungsweise das Integral :    π _  4     π _ 2 cos(x)dx mithilfe der Rechtecks, der Trapezund der Fassregel für das Intervall 4    π _ 4 ;   π _ 2   5 . Bestimme den absoluten Fehler. 846 Berechne sowohl mit der zusammengesetzten Rechtecksals auch Trapezregel das Integral :  ‒2   ‒1 x 2 e x dx näherungsweise. Rechne mit den Teilintervallen [‒ 2; ‒1,5] und [‒1,5; ‒1]. Bestimme den relativen Fehler. 847 Berechne mithilfe der SimpsonRegel das Integral :  0   3 e ‒  x 2 _  2 dx, indem du das Integrationsintervall in 3 gleich große Teilintervalle teilst. B ein Integral mit der Simpson-Regel berechnen B B Zeitpunkt t in s Beschleunigung a in m/s 2 0 0 1 1,5 2 5,1 3 7,3 4 8,9 B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv