Mathematik HTL 3, Schulbuch

182 Integralrechnung 838 a. Berechne das Integral :  1   2 1 _ x dxnäherungsweise sowohl mit der Rechtecksregel als auch mit der Trapezregel über dem Intervall [1; 2]. b. Bestimme die absoluten und die relativen Fehler. c. Berechne das Integral mit der zusammengesetzten Rechtecksund Trapezregel für die Unterteilung von [1; 2] in die Teilintervalle 4  1;   3 _ 2   5 und 4    3 _ 2 ; 2  5 . d. Ermittle das Integral sowohl mit der zusammengesetzten Rechtecksregel als auch der zusammengesetzten Trapezregel für die Unterteilung von [1; 2] in die Teilintervalle 4  1;   5 _ 4   5 und 4    5 _ 4 ; 2  5 . e. Bestimme die absoluten und die relativen Fehler in Aufgabe c. und Aufgabe d. f. Welche Berechnung ergibt den kleinsten absoluten Fehler? 839 a. Bestimme das Integral :  0     π _ 4 sin(x)dx näherungsweise mit der Rechtecksund Trapezregel über dem Intervall 4 0;   π _ 4   5 . b. Bestimme den absoluten und den relativen Fehler. c. Wie verändert sich der Fehler, wenn das Intervall in die zwei Teilintervalle 4 0;   π _ 8   5 und 4    π _ 8 ;   π _ 4   5 unterteilt wird? 840 Ermittle das Integral :  ‒4   4 8 _  2x 2 + 1 dx näherungsweise mit der Trapezregel. Arbeite dazu mit einem Tabellenkalkulationsprogramm und unterteile das Intervall [‒4; 4] durch a 0 = ‒ 4; a 1 = ‒ 3,6; a 3 = ‒ 3,2; …; a 20 = 4 a. in 20, b. in 80gleich große Teilintervalle. Erstelle eine Spalte mit den Zahlen a i und eine Spalte mit den Funktionswerten f(a i ). Berechne anschließend in einer dritten Spalte für jedes Teilintervall die entsprechende Trapezfläche und bilde am Schluss die Summe. Zusammengesetzte Fassregel (Simpson-Regel) Unterteilen wir das Intervall [a; b] in vier gleich lange Teilintervalle [a = a 0 ; a 1 ], [a 1 ; a 2 ], [a 2 ; a 3 ] und [a 3 ; a 4 = b], so können wir die Fassregel jeweils auf die Intervalle [a; a 2 ] und [a 2 ; b] anwenden. Da die Teilintervalle gleich groß gewählt wurden, ist   a + a 2 _ 2  = a 1 und   a 2 + b _ 2  = a 3 . Also ist :  a   b f(x) dx= :  a   a 2 f(x) dx+ :  a 2   b f(x) dx≈ ≈   1 _ 6 (a 2 – a)·[f(a) + 4f(a 1 ) + f(a 2 )] +   1 _ 6 (b – a 2 )·[f(a 2 ) + 4f(a 3 ) + f(b)]. Es ist (a 2 – a) = (b – a 2 ) =   b – a _ 2  . Damit erhalten wir :  a   b f(x) dx≈   1 _ 6  ·  b – a _ 2  ·[f(a) + 4f(a 1 ) + f(a 2 ) + f(a 2 ) + 4f(a 3 ) + f(b)] = =   b – a _ 12  ·[f(a) + 4f(a 1 ) + 2f(a 2 ) + 4f(a 3 ) + f(b)]. Dieses Ergebnis lässt sich auf jede beliebige gerade Anzahl von Teilintervallen erweitern. Man erhält so die zusammengesetzte Fassregel oder Simpson-Regel : Unterteilt man das Intervall [a; b] durch a = a 0 < a 1 < a 2 < … < a 2n = b in 2n gleich lange Teil intervalle, und nähert eine stetige Funktion f: [a; b] ¥ R auf jedem Intervall [a 2i ; a 2i + 2 ] durch die quadratische oder lineare Funktion g i mit den Funktionswerten g i (a 2i ) = f(a 2i ), g i (a 2i + 1 ) = f(a 2i + 1 ) und g i (a 2i + 2 ) = f(a 2i + 2 ) an (für alle i mit 0 ª i < n), dann ist :  a   b f(t) dt≈   b – a _ 6n  ·[f(a) + 4f(a 1 ) + 2f(a 2 ) + 4f(a 3 ) + 2f(a 4 ) + … + 4f(a 2n – 1 ) + f(b)] . B, C B, C B ggb c6m3xz zusammen gesetzte Fassregel oder Simpson-Regel Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv