Mathematik HTL 3, Schulbuch

181 3.4 Numerische Integration Zusammengesetzte Rechtecksregel und zusammengesetzte Trapezregel Unterteilt man das Intervall [a; b] in mehrere Teilintervalle, so ist wegen :  a   c f(t) dt + :  c   b f(t) dt= :  a   b f(t) dt das bestimmte Integral von f über dem Intervall [a; b] gleich der Summe der bestimmten Integrale von f über den Teilintervallen. Dadurch kann die numerische Berechnung verbessert werden. Unterteilt man das Intervall [a; b] durch a = a 0 < a 1 < a 2 < … < a n = b in n Teilintervalle und nähert eine stetige Funktion f: [a; b] ¥ R auf jedem Teilintervall [a i ; a i + 1 ] durch die konstante Funktion mit Funktionswert f 2    a i + a i + 1 __ 2    3 an der Stelle   a i + a i + 1 __ 2  an (für alle i mit 0 ª i < n), dann erhalten wir eine Treppenfunktion g: [a; b] ¥ R , welche die Funktion f auf [a; b] annähert. Dann ist :  a   b f(t) dt≈ :  a   b g(t) dt= ;  i = 0   n – 1 (a i + 1 – a i )f 2    a i + a i + 1 __ 2    3 . Unterteilt man das Intervall [a; b] durch a = a 0 < a 1 < a 2 < … < a n = b in n Teilintervalle und nähert eine stetige Funktion f: [a; b] ¥ R auf jedem Teilintervall [a i ; a i + 1 ] durch die lineare Funktion mit Funktionswert f(a i ) an der Stelle a i und f(a i + 1 ) an der Stelle a i + 1 an (für alle i mit 0 ª i < n), dann erhalten wir eine stückweise lineare Funktion g: [a; b] ¥ R , welche die Funktion f auf [a; b] annähert. Dann ist :  a   b f(t) dt≈ :  a   b g(t) dt= ;  i = 0   n – 1 (a i + 1 – a i )   f(a i ) + f(a i + 1 ) __ 2  . 836 Berechne das Integral :  1   2   sin 2    t π _  2  3 _ t  dtmit der zusammengesetzten Trapezregel. Unterteile dazu das Intervall [1; 2] in die vier Teilintervalle 4  1;   5 _ 4   5 , 4    5 _ 4 ;   3 _ 2   5 , 4    3 _ 2 ;   7 _ 4   5 , 4    7 _ 4 ; 2  5 . Wir bezeichnen   sin 2    t π _ 2    3 _ t  mit f(t). Dann ist f(1) = 1; f 2    5 _ 4   3 ≈ 0,74; f 2    3 _ 2   3 ≈ 0,47; f 2    7 _ 4   3 ≈ 0,22; f(2) = 0. Mit der zusammengesetzten Trapezregel erhalten wir :  1   2 f(t) dt≈   1 _ 4 ·  f(1) + f 2    5 _ 4   3 __ 2  +   1 _ 4 ·  f 2    5 _  4   3 + f 2    3 _ 2   3 __  2  +   1 _ 4 ·  f 2    3 _  2   3 + f 2    7 _ 4   3 __ 2  +   1 _ 4 ·  f 2    7 _ 4   3 + f (2) __ 2  = =   1 _ 4 ·0,87 +   1 _ 4 ·0,605 +   1 _ 4 ·0,345 +   1 _ 4 ·0,11 = 0,4825. 837 Berechne :  0,5   2,5 1 _  x 2 dx a. mit der zusammengesetzten Trapezregel, b. mit der zusammengesetzten Rechtecksregel. Unterteile dazu das Intervall [0,5; 2,5] in 4 gleich große Teilintervalle. zusammen gesetzte Rechtecksregel t y 0 f b a a 1 a 2 a 3 a 4 zusammen gesetzte Trapezregel t y 0 f b a a 1 a 2 a 3 a 4 ggb ff6b3h B ein Integral mit der zusammen gesetzten Trapezregel berechnen ggb/mcd ve86y2 B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv