Mathematik HTL 3, Schulbuch

180 Integralrechnung 829 Von einer stetigen Funktion f: [0; 4] ¥ R sind die Funktionswerte f(0) = 0, f(2) = 1 und f(4) = 7 bekannt. a. Ermittle :  0   4 f(t) dtnäherungsweise mit der Rechtecksregel, mit der Trapezregel und mit der Fassregel. b. Berechne den absoluten und den relativen Fehler, wenn f die Polynomfunktion f mit f(x) = 0,125x 3 – 0,125x 2 + 0,25x ist. c. Berechne den absoluten und den relativen Fehler, wenn f die Polynomfunktion f mit f(x) = 0,1x 4 – 0,275x 3 – 0,525x 2 + 1,85x ist. 830 Bestimme :  1   2 t 3 dtmit der Rechtecksregel, der Trapezregel und der Fassregel. Ermittle die Fehler. 831 a. Ermittle mithilfe der Rechtecksregel, der Trapezregel und der Fassregel das Integral :  0     π _ 2 sin 3 (x)dx. b. Bestimme den absoluten und den relativen Fehler. c. Beurteile die Genauigkeit der Berechnungen. Überlege, wie das Ergebnis verbessert werden könnte. 832 Berechne eine Näherung für das Integral mithilfe der Keplerschen Fassregel. a. :  1   3 1 _  x 3 dx b. :  0     π _  4 cos 2 (x) dx c. :  1     3 _ 2 9 ___ x 2 + 1dx d. :  1   2 e ‒   x  _ 2 dx 833 Zeige, dass für die Funktion q 2 mit q 2 (x) = f 2    a + b _ 2    3 ·  (x – a)(x – b) ___   2    a + b _  2  – a  3 2    a + b _ 2  – b  3 gilt: a. q 2 (a) = 0, q 2 2    a + b _ 2    3 = f 2    a + b _ 2    3 , q 2 (b) = 0 b. :  a   b q 2 (x) dx=   4 _ 6 ·f 2    a + b _ 2    3 ·(b – a) 834 Zeige, dass für die Funktion q 3 mit q 3 (x) = f(b)·  (x – a) 2  x –   a + b _ 2    3 __  (b – a) 2 b –   a + b _ 2    3 gilt: a. q 3 (a) = 0, q 3 2    a + b _ 2    3 = 0, q 3 (b) = b b. :  a   b q 3 (x) dx=   1 _ 6 ·f(b)·(b – a) 835 In der Musteraufgabe auf Seite 179 haben wir für eine Polynomfunktion mit Grad 3 mit der Fassregel das Integral ohne Fehler berechnet. Muss das für jede Polynomfunktion vom Grad 3 so sein? Mit a, b bezeichnen wir reelle Zahlen mit a < b, mit f eine Polynomfunktion mit Grad 3 und mit g eine quadratische oder lineare Funktion, deren Funktionswerte an den Stellen a, b und   a + b _ 2  mit jenen von f übereinstimmen. a. Begründe, dass die Differenz f – g nicht 0 sein kann, dass f – g eine Polynomfunktion ist und dass die Zahlen a, b und   a + b _ 2  Nullstellen von f – g sind. b. Folgere aus Aufgabe a. , dass (f – g)(x) = c·(x – a)·(x – b)· 2  x –   a + b _ 2    3 ist, dabei ist c der Leitkoeffizient von f. c. Berechne :  a   b (f – g)(x) dx. d. Folgere daraus, dass :  a   b f(x) dx= :  a   b g(x) dxist. e. Zeige mit einem Beispiel, dass diese Überlegungen nicht mehr richtig sind, wenn f den Grad 4 hat. B B B, D B D D B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv