Mathematik HTL 3, Schulbuch

18 Konvergente Folgen und stetige Funktionen 42 Finde für die Folge eine rekursive Definition. a. k 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n + 1, … l c. k 5, 1, ‒ 3, ‒7, ‒11, …, 5 – 4n, … l b. k 2, 4, 8, 16, 32, …, 2 n , … l d. k 6, ‒ 6, 6, ‒ 6, 6, …, (‒1) n ·6, … l 43 Stelle den Graphen der durch a 0 = 1, a n + 1 = 3a n – 1 rekursiv definierten Folge dar und überlege dann, ob die Folge konvergiert oder divergiert. 44 Mit p bezeichnen wir eine positive reelle Zahl. Man kann zeigen, dass die durch a 0 = p und für alle natürlichen Zahlen n ist a n + 1 =   1 _ 2 2  a n +   p _  a n   3 rekursiv definierte Folge konvergiert. Berechne den Grenzwert. Ermittle die ersten fünf Folgen glieder für p = 5. Das 0. Folgenglied ist positiv. Wenn a n positiv ist, dann muss auch a n + 1 positiv sein. Daher ist für alle n die Division   p _  a n möglich. Wenn die Folge k a n l konvergiert, dann auch die Folge k    p _  a n   l und die Folge k a n + 1 l . Daher folgt aus a n + 1 =   1 _ 2 2  a n +   p _  a n   3 , dass lim    n ¥• a n = lim    n ¥• a n + 1 = lim  n ¥•   1 _ 2 2  a n +   p _  a n   3 =   1 _ 2 2  lim   n ¥• a n +   p _  lim   n ¥• a n   3 ist. Schreiben wir c für lim    n ¥• a n , dann erhalten wir c =   1 _ 2 2 c +   p _ c   3 . Umformen ergibt c 2 = p c = 9 _  p . Man hat damit ein gutes Verfahren, die Wurzel aus einer Zahl näherungsweise zu berechnen. Für p = 5 erhalten wir die Folge k  5, 3,   7 _ 3 ,   47 _ 21 ,   2207 _ 987  ,   4870847 __  2178309 ≈ 2,236067977, …  l . Wegen 2,236067977 2 = 4,999999998 ist schon das 5. Folgenglied eine sehr gute Näherung von 9 _ 5 . 45 Die Folge k a n l ist durch a 0 = 7 und a n + 1 =   1 _ 2 · 2  a n +   a 0 _  a n   3 gegeben. a. Berechne die ersten sieben Glieder dieser Folge. b. Um wie viel weichen die einzelnen Folgenglieder jeweils vom Ergebnis deines Taschenrechners für 9 _ 7ab? c. Wiederhole die Rechnung jeweils für a 0 = 1 und für a 0 = 10. Dokumentiere, was dir auffällt. 46 Finde eine Folge von rationalen Zahlen, die den Grenzwert 9 _ 3hat. Beachte: 9 _ 3ist keine rationale Zahl. Orientiere dich dabei an Aufgabe 45. Berechne die ersten 6 Folgenglieder. Ab welchem Folgenglied weicht deine Folge erstmals um weniger als 0,0001 von 9 _ 3ab? 47 Zeige, dass 3 9 _ pder Grenzwert der durch a 0 = 1 und a n + 1 =   1 _ 3 · 2  2a n +   p _  a n 2   3 rekursiv definierten Folge ist. Berechne die ersten zehn Glieder für p = 125. 48 Recherchiert mithilfe des Internets den Begriff „Goldene Spirale“. Diese kann durch eine Folge von Viertelkreisen approximiert werden. Findet heraus, wie man eine goldene Spirale konstruiert und formuliert gemeinsam eine rekursive Konstruktionsvorschrift für diese Spirale. Präsentiert eure Konstruktion der Klasse und vergleicht eure Vorschrift mit jenen der anderen Gruppen. A B, C B ggb g7u4kj den Grenzwert einer rekursiv definierten Folge berechnen B, C A, B B, D C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv