Mathematik HTL 3, Schulbuch

179 3.4 Numerische Integration Um das Integral :  a   b q 1 (x) dxzu berechnen, multiplizieren wir in q 1 (x) aus und erhalten q 1 (x) = f(a)·  2  x –   a + b _ 2    3 (x – b) __  2 a –   a + b _ 2    3 (a – b) = f(a)·    1 _ 2 (2x – a – b)(x – b) ___   1 _ 2 (2a – a – b)(a – b) = f(a)·  (2x – a – b)(x – b) ___ (a – b)(a – b)  = =   f(a) _  (a – b) 2 ·(2x 2 – 2bx – ax + ab – bx + b 2 ) =   f(a) _  (b – a) 2 ·(2x 2 – 3bx – ax + ab + b 2 ). Somit ist :  a   b q 1 (x) dx=   f(a) _  (b – a) 2 · :  a   b (2x 2 – 3bx – ax + ab + b 2 ) dx=   f(a) _  (b – a) 2 · 2    2x 3 _ 3  –   3bx 2 _ 2  –   ax 2 _ 2  + abx + b 2 x  3   1 a   b = =   1 _ 6 ·  f(a) _  (b – a) 2 ·(4x 3 – 9bx 2 – 3ax 2 + 6abx + 6b 2 x )  1 a   b = =   1 _ 6  ·  f(a) _  (b – a) 2 ·((4b 3 – 9b 3 – 3ab 2 + 6ab 2 + 6b 3 ) – (4a 3 – 9a 2 b – 3a 3 + 6a 2 b + 6ab 2 )) = =   1 _  6 ·  f(a) _  (b – a) 2 ·(b 3 – 3ab 2 + 3a 2 b – a 3 ) =   1 _ 6 ·  f(a) _  (b – a) 2 ·(b – a) 3 =   1 _ 6 ·f(a)·(b – a) Durch ähnliche Rechnungen (siehe Aufgaben 833 und 834) erhalten wir :  a   b q 2 (x) dx=   4 _ 6 ·f 2    a + b _ 2    3 ·(b – a) und :  a   b q 3 (x) dx=   1 _ 6 ·f(b)·(b – a). Also ist :  a   b g(x) dx= :  a   b q 1 (x) dx+ :  a   b q 2 (x) dx+ :  a   b q 3 (x) dx= =   1 _ 6 ·f(a)·(b – a) +   4 _ 6 ·f 2    a + b _ 2    3 ·(b – a) +   1 _ 6 ·f(b)·(b – a) =   1 _ 6 (b – a)· 4  f(a) + 4f 2    a + b _ 2    3 + f(b)  5 . Eine stetige Funktion f: [a; b] ¥ R wird nach der Keplerschen Fassregel numerisch integriert, wenn das Integral :  a   b g(t) dtfür die quadratische oder lineare Funktion g, deren Funktionswerte an den Stellen a, b und   a + b _ 2  mit denen von f übereinstimmen, berechnet wird. Dann ist :  a   b f(t) dt≈ :  a   b g(t) dt=   1 _ 6 ·(b – a) 4  f(a) + 4·f 2    a + b _ 2    3 + f(b)  5 . 828 Eine stetige Funktion f: [0; 2] ¥ R hat die Funktionswerte f(0) = 1, f(1) = 3 und f(2) = 2. a. Berechne :  0   2 f(t) dtnäherungsweise mit der Rechtecksregel, mit der Trapezregel und mit der Keplerschen Fassregel. b. Berechne dann die Fehler, falls f die Polynomfunktion mit f(x) = ‒   1 _ 2 x 3 +   5 _ 2 x + 1 ist. a. Rechtecksregel: :  0   2 f(t) dt≈ 2·f(1) = 6 Trapezregel: :  0   2 f(t) dt≈ 2·  f(0) + f(2) __ 2  = 3 Fassregel: :  0   2 f(t) dt≈   1 _ 6 ·2· 2  f(0) + 4·f 2    0 + 2 _ 2    3 + f(2)  3 =   1 _ 3 ·(1 + 4·3 + 2) = 5 b. :  0   2 2 ‒   1 _ 2 x 3 +   5 _ 2 x + 1  3 dx= ‒   1 _ 8 x 4 +   5 _ 4 x 2 + x  1 0   2 = ‒   1 _ 8 16 +   5 _ 4 4 + 2 – 0 = 5 Der Fehler bei der Berechnung mit der Rechtecksregel ist 1, bei der mit der Trapezregel 2 und bei der Berechnung mit der Fassregel 0. Keplersche Fassregel t y 0 g f b a a + b 2 B ein Integral mit der Rechtecks- Trapez- und Keplerschen Fassregel berechnen ggb/mcd/tns 7m54c5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv