Mathematik HTL 3, Schulbuch

178 Integralrechnung 822 Von einer stetigen Funktion f: [1; 3] ¥ R sind die Funktionswerte an den Stellen 1, 2 und 3 bekannt. Berechne :  1   3 f(t) dtnäherungsweise mit der Rechtecksregel und mit der Trapezregel. Zeichne den Graphen der konstanten und der linearen Funktion, durch die f dabei angenähert wird. a. f(1) = 0, f(2) = 2, f(3) = 4 c. f(1) = 2, f(2) = 2, f(3) = 2 b. f(1) = 0, f(2) = 4, f(3) = 1 d. f(1) = 2, f(2) = ‒ 2, f(3) = 2 823 Überlegt euch je ein Beispiel einer stetigen Funktion f: [‒1; 1] ¥ R so, dass das Integral :  ‒1   1 f(t) dt a. mit der Rechtecksregel besser als mit der Trapezregel, b. mit der Trapezregel besser als mit der Rechtecksregel angenähert wird. 824 Berechne :  0   2 t 4 dtnäherungsweise mit der Rechtecksregel und der Trapezregel. Berechne die Fehler. 825 Bestimme je eine Näherung für das Integral mithilfe der Rechtecksregel und der Trapezregel. a. :  3   4 1 _  x 2 dx b. :    π _ 2     3 π _ 4  sin 2 (x)dx c. :  0     1 _ 2 9 ___ 1 – x 2 dx d. :  ‒1   0 e 3x dx 826 a. Ermittle näherungsweise mithilfe der Rechtecksregel und der Trapezregel das Integral :  0     π _ 2 cos 3 (x)dx. b. Bestimme den absoluten und den relativen Fehler. c. Beurteile die Genauigkeit der Berechnungen. Überlege, wie das Ergebnis verbessert werden könnte. 827 Die Rechtecksregel und die Trapezregel liefern für alle Zahlen a, b mit a < b das Integral :  a   b f(t) dt ohne Fehler, wenn f eine lineare Funktion ist. Begründe, warum. Keplersche Fassregel Wir möchten eine stetige Funktion f: [a; b] ¥ R numerisch integrieren und nähern sie dazu durch eine quadratische Funktion an. Wir suchen dazu eine quadratische Funktion g, die an den Stellen a, b und   a + b _ 2  dieselben Funktionswerte wie f hat. Für drei paarweise verschiedene Zahlen r, s und t hat die quadratische Funktion q mit q(x) = f(r)·  (x – s)(x – t) __  (r – s)(r – t) die Eigenschaften q(r) = f(t), q(s) = 0 und q(t) = 0. Damit erhalten wir drei Funktionen q 1 , q 2 und q 3 mit q 1 (x) = f(a)·  2  x –   a + b _  2  3 (x – b) __  2 a –   a + b _  2    3 (a – b) , q 2 (x) = f 2    a + b _ 2    3 ·  (x – a)(x – b) ___   2    a + b _  2  – a  3 2    a + b _  2  – b  3 und q 3 (x) = f(b)·  (x – a) 2  x –   a + b _  2  3 __  (b – a) 2 b –   a + b _  2  3 , die jeweils an zwei der drei Stellen a, b und   a + b _ 2  den Funktionswert 0 haben und an der dritten Stelle mit dem Funktionswert von f übereinstimmen. Addiert man diese drei Funktionen, so erhält man die quadratische Funktion g = q 1 + q 2 + q 3 mit den gewünschten Eigenschaften g(a) = f(a), g(b) = f(b) und g 2    a + b _ 2    3 = f 2    a + b _ 2    3 . Für das Integral von g gilt dann :  a   b g(x) dx= :  a   b q 1 (x) dx+ :  a   b q 2 (x) dx+ :  a   b q 3 (x) dx . B A, C B B B, D D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv